师范专业认证视角下常微分方程课程教学改革探索

国忠金 孙 丹

（泰山学院数学与统计学院 山东·泰安 271000）

常微分方程作为师范类数学与应用数学专业的核心课程，承接起了专业基础课数学分析、高等代数、解析几何与后续课程泛函分析、数学模型与实验、微分方程数值解等课程的桥梁。作为描述变化规律的法宝，常微分方程在师范类学生核心能力培养中具有极其重要的作用和价值。因此，诸多高校教师针对该课程的教学改革进行了深入探索，诸如：唐玉萍[1]探索分析了常微分方程教学模式。王莉[2]基于课程教学改革的背景与意义，对常微分方程的教学进行了相关研究。刘亚威等[3]基于MatLab数值实验，探索了常微分方程课程教学内容与手段的改革研究。蒲武军[4]结合常微分方程课程特点，提出了针对教学内容、教学方法改革的设想和建议。刘倩[5]以常微分方程为研究对象，提出了推动课程教学模式创新与实践探索的策略。侯利平等[6]探索了“四个回归”背景下常微分方程的教学改革，分析了课程教学中存在问题及改革建议。

在2009年国家开始的试点工程教育专业认证基础上，2017年10 月教育部师范类专业认证开始启动，其目的在于推动师范专业的内涵式建设，聚焦师范学生的知识、素质和能力培养。根据教育部颁布的师范专业认证标准，认证的基本理念是以学生为中心。这就要求师范类课程教学中应以学生的学习效果、持续发展能力为中心组织课程教学活动。因此，作为承接数学理论与实际问题的桥梁课程，常微分方程教学对于师范生知识、素质、能力培养起到了很重要的作用。

1 常微分方程课程教学中存在的问题及痛点

（1）教学内容忽视了知识实践基础，弱化了知识的内化体验与应用性。作为数学理论联系实际的一个重要触角，常微分方程课程紧密联系实际，其理论体系来源于对实际问题的建模分析。然而，多数高校教师在讲授本课程过程中，将更多的精力用在了微分方程的基本概念、基本理论以及基本解法讲解，忽视了各类型微分方程的来源及应用分析。

（2）课程体系忽视了多学科专业知识的综合衔接与交叉融合性。作为描述变化规律的法宝，常微分方程模型来源于物理、化学、生物、经济、机械、工程等领域实际问题，并在实际问题研究中得到了广泛应用，即：来源于实践，应用于实践。然而，许多教师讲解本课程时只是介绍常微分方程的概念、理论、解法等内容，未能将课程知识点融入实际问题，融入多学科理论体系中，这样会导致学生体会不到常微分方程课程的科学价值、应用价值，肢解了知识创新的基础。

（3）教学手段、方法单一，漠视了学生主动探究、获取知识的主体能动性。传统的课程教学主要以课堂讲授为主，教师只是通过板书、课件将知识单向传授给学生，学生业只是机械的、硬着头皮去接受枯燥的课程知识。漠视了课堂教学以学生为中心的理念，学生学习动力和获取知识的主体能动性不能被有效的激发。

（4）学习效果评价单一，缺乏对创新能力的考核。传统的课程考核主要以期末考试成绩为主，一卷定成绩。学生为了提高成绩往往对常微分方程课程概念、理论、求解方法死记硬背，比着葫芦画瓢，缺乏对课程知识体系的理解和应用认识。从而致使课程教学不能激发学生学习动力和专业志趣，不能满足社会发展对课程教育的要求。

2 师范专业认证理念下的常微分方程课程教学改革设想与建议

常微分方程是数学专业基础课程的延续和补充，又是其他数学专业课程和以后工作实践的基础。本课程的教学是培养符合新时代发展的科技人才的重要基础，而传统的课程教学模式使学生接收到的信息的范围过于狭窄，教学方法、效果评价单一。 因此，在师范专业认证理念下，本课程着重在课程内容体系重构、教学方法、教学考核评价等方面进行改革。

（1）教学内容突出解法理论基础上，打造“模型+理论+方法+应用”的知识教学主线，增强学生学习兴趣和主动性。以文献[7]为例，课程教学内容章节理论第四章高阶线性微分方程的基本理论与第五章线性微分方程组解理论相似，反复讲解容易使学生产生厌烦和迷惑，而缺少了针对线性微分方程基本理论的综合分析。在讲解各类方程理论知识前后，缺少模型方程的来源及应用。在师范专业认证理念下，为增强学生学习兴趣和主动性。一方面，在课程教学中重视模型的建模和各类微分方程产生的实际背景。诸如：基于COVID-19 疫情，当简单假设且未区分已感染者与未感染者的前提下，可进行建模获得传染病指数增长模型，继而引出一阶线性微分方程概念、理论及求解方法等。当区分已感染者与未感染者，进行建模获得SI 模型，继而引出一阶非线性微分方程概念、理论与求解方法等。同样，可以考虑多种因素，衍生出一阶方程组SIR模型等，继而针对微分方程组讲解其理论结构、解性质与求解方法等。通过微分方程模型背景介绍和分析，增强学生对于课程知识的理解和应用联系，有助于提升学生持续发展能力。另一方面，以“理论、方法、应用”为主线，更新课程教学内容。诸如：将线性微分方程基本理论综合讲解、分析，形成线性方程解结构理论体系；将可求解的微分方程进行分类，提炼各类初等积分求解方法，挖掘蕴含的数学思想；针对微分方程尤其是非线性微分方程求解，适当引入MatLab 软件进行实践分析，提升课程应用价值；基于教材现有知识理论，适度触及相关的前沿知识，丰富课程广度，拓展学生学习视野。

（2）教学方法以“引疑思拓”为引领，重视师生互动与小组活动，倡导理论与实践相结合。基于OBE 理念，坚持“教为不教、学为学会”的教学思想，以“引疑思拓”为引领革新课程教学模式，引导学生挖掘本课程蕴含的数学思想与求解方法。其中“引”是指通过引例探索新知，通过已知引导思考。“疑”是指设疑，根据问题可进行联系上设疑、衔接上设疑、疑难上设疑、深化上设疑等等。“思”是指思考、反思，通过设疑引发思考、总结，可以小组形式进行。“拓”是指拓展、创新，通过反思总结对知识内容进行拓展和深化，衔接新的知识。诸如，在讲解齐次线性微分方程解叠加原理时，可引入案例进行探索，即：设置引例

②“疑”，带领学生针对上述方程解进行“联系上设疑”，分组考虑方程的解形式，诸如：

③“思”，由学生联系上质疑，进行反思总结，引导考虑引例解的一般形式以及 与 与 的关系；

④“拓”，由思进行拓展未知，引出新的知识点，齐次线性微分方程解的叠加原理以及函数的线性相关、线性无关概念。

同样，在讲解齐次线性微分方程解叠加原理中，可进行“疑难上设疑”拓展出解为通解的约束条件。

（3）丰富教学手段与教学评价形式，适当增加反思总结、软件实现、线上辅导测评等，真实反映学习效果。传统教学手段主要采用板书和多媒体并用的方式。针对常微分方程基本理论、证明推导等以板书、多媒体交互形式进行，呈现数学逻辑推理过程，疑难部分可反复与学生进行交流增强讲解深度。针对微分方程稳定性等几何理论及解曲线等知识，抽象复杂，适当借助MatLab 软件进行数值模拟，清晰演示传统教学手段未能呈现的直观效果。为适度触及前沿知识，设计知识模块，借助线上资源与文献成果，合理增负，发挥学生主观能动性。课程考核方面，在传统期末试卷成绩测评基础上，适当增加反思总结、软件实现、线上测评（如超星课程中心）等环节，通过线上平台及时了解学生预习、学习过程数据，丰富教学手段和教学评价形式，做到更真实的反映学生掌握课程知识的情况和效果。

3 结语

常微分方程课程教学改革是一个系统工程，需要从教学理念、教学内容、教学手段、教学评价等层面深入细致的展开。本文主要以师范专业认证导向为视角，以学生为中心，学习效果为目的合理设计教学内容、教学手段、教学方法、课程评价等，以适应应用创新型人才培养目标的需要。