类比思想推理在初中数学教学中的探究

张新宏

[摘   要]类比推理的应用可以使数学学习起点更低、更容易被学生接受和理解、更有利于培养学生自主探索与创新的能力，通过概念的类比，理解概念的本质;通过公式、例题、习题的类比，构建知识体系以及进行拓展和延续;通过思维的类比，突破学生学习的难点，提高初中数学教学的有效性。

[关键词]类比思想;推理;探究与应用

[中图分类号]   G633.6        [文献标识码]   A        [文章编号]   1674-6058（2020）18-0039-02

类比推理是依据两个对象之间存在某些相同或相似的属性，推出它存在其他相同或相似的属性，以及进一步进行延伸和概括总结的思维方法。数学上的类比推理是指依据已有数学对象的已知性，将已知一类数学对象的性质通过类比推理迁移到另一类未知对象上的一种合情推理，它很好地实现了对于抽象数学问题的理解和学习。

我一直身处教学一线，在数学课堂上也常常会遇到一些问题。如学生在课堂上不能集中精力听讲，做题时遇到难题不愿意思考，“按部就班”，等待教师评讲。遇见所谓的数学结论、典型题目结论，更愿意记忆结论、直接应用，不愿意探索解题过程，研究题目背后所应用的基础知识和基本技能。对于教师讲解的数学思想和数学方法体会、感悟不深，更愿意直接做数学题目，不愿意归纳类比找出问题的本质。针对这种现象，我觉得在数学课堂中，教师应该创设教学情境，充分尊重学生的认知规律，挖掘他们的潜能，让他们成为学习的主人。

学习数学的过程，本身就是要把复杂的问题变得简单，把抽象的问题变得直观。一旦把握住数学问题的实质，通过类比推理的探究，以不变应万变，能使学生少走很多弯路、减少做题量、提高学习效率。通过对类比推理探究教学的应用，能使问题由浅入深，使学生对知识的认识更加系统和完善。学生可以多层次、从不同的角度，全方位地认识数学问题。类比探究的学习及使用首先要重视 “双基”的落实 ，即数学基本知识的掌握和基本技能的培养。基本技能的形成离不开对基础知识的理解和掌握，而基础知识的掌握对基本技能的培养起辅助的作用。只有掌握好基础知识，才能更好地对数学技能进行掌握。作为教师 ，对于数学这一科 ，如何选择好的解题教学方法呢？我认为 ，数学教学的整个过程 ，是思维启发到思维理解接受的过程 。在解题过程中，教师要在已有的基本方法之上，引导学生进行类比推理，给学生足够的思维空间 ，让学生真正理解解题思路 ，从而提高习题质量和效率。现从以下几个方面进行讨论。

一、用类比的思想进行数学概念的推理学习

著名的学习理论家奥苏贝尔指出：要进行有意义的教学，必须知道学生已经知道了什么。数学思想方法和数学模型的构建，要立足在已学知识的基础之上，切不可急于求成，盲目追求“高大上”。比如在学习华东师大版第11章《数的开方》的内容时，教材给出了平方根与立方根的概念，这两个概念本身具有一定的抽象性，如果教师按照普通的概念课讲授模式引入概念、得出概念、应用概念，恐怕效果会很差，学生理解和掌握起来就会非常困难，更谈不上应用了。如果是类比已有知识，首先，回顾从小学到现在我们学过的运算有哪些？学生很容易知道学过的运算有：加、减、乘、除、乘方。学生都能够回答与参与，然后教师点拨其实开方也是一种运算。其次，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算;同样，开方也是乘方的逆运算，顺理成章。这样学生在理解知识点时会觉得简单容易。想要让学生构建数学思想、数学模型，必须先给学生搭建一个台阶，让学生顺着台阶一步一步往上走，这样学生自然能够上到最高处，而不是生硬地接受。

二、用类比的思想进行数学公式的推理探究

通过类比推理感觉既见树木又见森林，很容易把数学过程对象化，而不仅仅是把数学看成一些过程和一些琐碎的公式计算，甚至是毫无意义的数字、符号的游戏。有了类比推理，使学生学习数学的观念不只是停留在简单的数字计算、公式模板套用的认识上，知道了数学实质上还有更重要的东西要学习：那就是数学思想、数学思维方法、数学语言。

应用类比的方法进行归类，再进一步做一题多变，变换条件后做一题多问、一题多解，充分挖掘题目的深度和广度，扩大题目的辐射面，对于学生能力的提高和思维的拓展有很大的帮助。

此类问题是对完全平方公式的形式特征进行的应用，要完全把握公式的形式特征，还要对公式的实质做一个充分的把握，然后进行类比推理应用，这样学生的学习就会显得轻松许多。灵活运用这些公式的变形，往往可以解答一些特殊的计算问题。

三、用類比的思想进行数学例题、习题的推理探究

教师要想把握好例题、习题变式的类比推理教学，可以从例题、习题上改变条件，适当增加条件，由一般到特殊。从而得到更多的结论，考验学生对知识掌握的全面性，从而把所学的知识贯穿起来。

1.①一个等腰三角形中的顶角为[400]，另外两个角的度数分别是多少？

②等腰三角形中有一个角是[1000]，另外两个角是多少度？

③等腰三角形有一个角是[400]，另外两个角是多少度？

④等腰三角形有一个角是[?0]，另外两个角是多少度？

2.①已知等腰三角形的腰长是5，底长是6;求周长。

②已知等腰三角形的一边长为2，另一边长为6，求周长。（显然“2只能为底”，否则与“三角形两边之和大于第三边”相矛盾，这有利于培养学生逻辑思维的严密性）

③已等腰三角形一边长为5;另一边长为6，求周长。（这需要学生改变思维策略，进行分类讨论）

④已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。

⑤已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是c，分别求出腰长的范围和底边长的范围。

【归纳】等腰三角形：  [14周长<腰长<12周长]

[0<底边长<12周长]

通过对例题、习题的多种变形，归纳类比，让学生对等腰三角形三边关系的认识又加深了一步，有利于培养学生从特殊到一般、从具体到抽象地认识问题、分析问题、解决问题。 在这类数学问题建构与认识过程中，类比推理起到非常重要的作用，运用从特殊到一般解决问题，能使学生轻松地掌握系统的知识与方法，在探索中培养学生的创新思维，提高学习数学的效率。

四、用类比的思想进行数学思想推理的探究

比如，教师在教学华东师大版第13章《全等三角形》这一章时，课堂一开始就让学生针对如何分类进行讨论。证明三角形全等需要的三个条件，是需要进行分类讨论的。我先给学生列举了大量关于分类讨论的实例，比如，怎么样才能恰当分类。首先，由生活中的实例进行引入。我们班的学生，按年龄分类可分为：小于十二岁、十二到十三岁、大于十三岁。按性别分类可分为：男生一类、女生一类。按身高分类可分为……类比刚才的分类方法，说明三角形全等有三个对应相等的元素。可以分成哪几类？学生按照要求很自然地进行了分类。三条边对应相等;两条边一个角对应相等;两个角一条边对应相等;三个角对应相等，至此解决了三角形全等分类的一个知识难点。

应用类比思想推理不仅在数学教学方面具有积极作用，而且在提高思想纬度与认识方面具有重大作用。教师在数学教学过程当中一定要善于应用，并且要引导学生学会用这一强有力的思想进行高效的学习。

（责任编辑    黄诺依）