基于 “三教”理念的文科高等数学教学策略与模式探索∗

唐海军 胡 蓉

（1.四川文理学院 数学学院，四川 达州 635000；2.贵州师范大学 数学科学学院，贵州 贵阳 550001）

在科学技术迅猛发展的时代，数学科学作为基础已经渗透到日常生活的方方面面，数据存储、图像识别、人工智能、智慧医疗、灾害搜索以及移动通信技术都是以数学为基础。每个人都在享受着数学带来的红利，数学素养也应是这个时代每个人的基本文化素养之一。因而，近年来许多的高校都在人文、社科专业逐步地开设大学文科高等数学这门课程 （后简称 “文科高等数学”）。课程内容模块包括一元微积分、线性代数、概率论与数理统计三部分。也有部分专家学者针对文科高等数学的学习、教学以及课程与教材建设等问题进行了研究［1-5］，认为目前文科高等数学的教与学仍然存在着一些问题与矛盾。例如，教师往往采取 “重结论不重背景，重知识不重思想，重计算不重推理”的教学方式［6］，以及生源的多样性与数学基础差距大的矛盾。面对问题、矛盾以及文科大学生数学学习底子薄、畏惧数学的现状，研究亟待厘清文科高等数学教学的意义与策略等问题。

一、文科高等数学教学改革与研究缘起

（一）文科高等数学教育的意义

数学不仅是一类知识，更是一种素质。古往今来，数学学习都被有识之士所重视。中国古代提倡人们学习礼、乐、射、御、书、数。在古希腊，柏拉图学院明确表示 “不懂几何者不准入内”。今天，随着大数据时代的到来，数学更是无处不在，无所不用。例如 “数学与其他学科之间的交叉、渗透、相互作用，促进了众多新兴交叉学科与边缘学科的发展”，［7］1-3产生了语言学、金融数学、定量社会学、计量史学等。人文社会科学各个领域都正在应用着数学理论进行指导，社科论文也引入数学工具作为重要的评估标准。大学文科生学习适当的数学知识成为必要。

（二）文科高等数学教学目的、特征及原则

通过已有研究，大家认为文科高等数学课程教学的目的大致上有两方面： （1）理解大学数学中的基本概念与命题、掌握基本的思想方法和做到初步的应用数学解决数学问题与解释社会现象；（2）“培养和加强文科学生的理性思维方式和能力，提高文科学生的综合素质”［4］106-108。文科大学生由于 “数学基础及毕业后从事行业的性质决定了他们所需高等数学与理工科学生的不同”［1］85-88。具体来说， 文科高等数学除具有数学的高度抽象性、逻辑的严谨性、应用的广泛性及结论的确定性等特点外，还具有自身的特性，比如例证通俗、内容实用、知识广泛、系统性弱。因此文科高等数学的教学中应注重 “文理渗透原则、弱形式化原则、量力性原则、因材施教原则”［4］107，教学的重点特别要放在教学生思考、教学生体验和教学生表达上。

（三）“三教”理念的起源与内涵

贵州师范大学吕传汉教授2014年1月针对基础教育领域数学学科教学提出数学教学重在“教思考、教体验、教表达” （后简称 “三教”），在2015年10月又提出用 “三教＋”培育学生核心素养，尝试用 “三教”引领 “创设情境与提出数学问题” 教学，［8］26-30其目的是用教思考、教体验、教表达促进创新型人才的成长，促进学生软能力增长，为国家培养第三产业发展需要的人才。虽然 “三教”理念最初是针对基础教育领域数学教学所提出，但其核心思想符合文科大学数学的教学目标、特征。相比于理工、经管类专业，高等数学的具体知识很少直接用到人文社科类的专业课程学习上，因而教师更应该引导文科大学生在数学学习中要敢于思考、学会思考，在做数学中体验数学，在说数学、用数学中实现思维的交流，在倾听、交流、思考中理解数学，感受数学的科学与人文价值。

二、“三教”理念下文科高等数学教学策略

（一）教思考

思考也是思虑，是思维的一种探索活动，源于主体对意向信息的加工。联合国教科文组织在《学会生存——教育世界的今天和明天》一书中指出：“教师的职责现在已经越来越少地传授知识，而越来越多地激励思考”。文科大学数学的教学聚焦在教学生思考学习的内容涉及哪些数学思想、形成何种的数学思维、如何提升思辨的能力。

1.厘清知识的逻辑脉络与结构，思考学习内容所涉及的数学思想

数学思想是人们对数学研究统一的、本质性的认识，也是对数学规律的理性认识。数学思想方法是高等数学学习的核心内容，教学中应“重视渗透、揭示和明确知识中的数学思想方法，让学生了解数学所经历的迂回曲折的发展过程，激发学习热情，加深对数学本质的认识和理解”。［9］例如，在罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理学习时，需结合几何图形来理解。也正因为有了几何意义的描述，文科大学生更容易从抽象的 “连续” “可导” “开 （闭）区间”等数学术语与符号表达中感到 “一丝亲切”，从多样的数学表征中逐步明白各个中值定理的意义、联系与区别。数形结合思想可以说给文科大学生提供了除开单纯文字描述世界之外的另一种表现自然现象、社会规律的范式。

2.课堂教学的重心放在培育大学生形成良好的数学思维

思维是人脑对客观事物间接和概括的反映。“思维的工具是语言，思维形式是概念、判断、推理；思维方法是抽象、归纳、演绎、分析与综合”，［10］数学思维包括 “抽象思维、逻辑思维、形象思维、直觉思维”等基本形式。［11］

数学思维常在数学概念获得、命题学习、问题解决、知识应用的过程中形成。文科高等数学涉及的概念要少而精，主要采用概念形成的方式感受概念的自然生成。例如，数列极限概念形成就是让学生从 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”的截杖问题，刘徽割圆术中得出的正n边形的面积序列，曲线与坐标轴所围图形的面积近似计算等大量事物的不同例证中观察、概括发现，当n→∞时，数列通项xn逼近于某一个常数这一本质属性，从而形成概念。

针对部分文科大学生数学基础 “先天性不足”的特点，命题教学重在观察命题特征与形成证明的思路。比如，证明 “当 x＞ 0时，成立”时，须先观察该命题条件与结论的特征，由 “指数式”联想到 “对数式”，在不等式两边取以e为底的对数；再以分析法探索证题途径 （口头的），而后用综合法简练地表达出来 （书面的），从而完成证明过程，实现培育学生抽象思维、逻辑思维的目标。长此训练，让文科学生养成 “执果索因”的研究习惯，促进形成 “观察、联想、转化、反思”这样一种问题解决的思维模式。

3.从课程内容学习的反思中，挖掘数学哲理性知识和培养批判能力

数学哲理性知识指蕴含于数学学科的知识体系之中，具有哲学思想和哲学意义的数学知识。［2］88-91文科高等数学主要以微积分的内容最为系统，且在其他课程中有广泛的应用，显著特点是以函数作为研究对象，以极限工具讨论函数的连续性、可导性和可积性等分析性质。其内容蕴含着丰富的辩证唯物主义思想，比如：相互依存与相互转换的对立统一规律 （包含常量与变量、有限与无限、近似与精确、局部与整体、特殊与一般、收敛与发散、连续与离散、运动与静止等关系），质量互变规律 （如定积分中通过对有限曲边梯形的无限细分、近似代替、累加求和、取得极限），否定之否定规律 （数学中函数的无界、间断、不一致连续等概念都是通过对它们的对立面——有界、连续、一致连续等的否定而得到的），［12］普遍联系与发展的观点 （如被称为微积分基本定理的牛顿—莱布尼茨公式，将微分与积分两个不同的研究对象、概念巧妙地统一在了一起，而且将定积分的运算转化成了求原函数的运算，既简化了定积分的计算，又表明微分与积分有着紧密的关系）。在教学中，指导学生学会 “从哲学角度进行适度的辩证剖析，并深刻地理解其实质，把握其精髓”［13］，对于认识事物、解决问题具有重要的方法论意义。

（二）教体验

学习体验，可以理解为学习者从经历的学习活动过程中获得的感受、体会、领悟以及由此获得的相关知识、技能、情感与观念等内容有机组合的个性化经验。知识学习、技能训练和思想方法的学习体验，需要学生在具有实践、探究特征的 “做中学”系列活动中获得。

1.在探究活动中体验知识的来源

案例1 2的连续开方

学生探究：用计算器对数字2连续开平方，经过若干次后得到的数字是什么？

学生借助手机上的计算器或者网络计算器APP实施探究操作，并汇报结果。

教师将探究问题用符号表征出来，板书：

教师继续出示问题：若换成任何大于1的正数a连续对其开平方运算得到什么？若是换成小于1的正数a，结果你估计又是多少？为什么？

在学生操作、猜想游戏结果之后，教师引导学生抓住问题的实质是计算

此教学设计，通过游戏激发学生兴趣，引导学生在动手操作、自由讨论、辩驳质疑中获得数学学习的真实情感，认识到该数学问题的根源在从而引出数列极限概念的学习。2.在讨论中体验数学知识的联系

学习命题时，体验数学命题与以往所学内容的联系。

案例2 拉格朗日中值定理的理解

为了加深对拉格朗日定理的理解，教师在定理教学后，组织学生讨论，通过该定理还可以与哪些已学内容联系起来。

学生： 由拉格朗日中值公式：f（b） -f（a）＝f′（ξ）（b-a） 得： Δy ＝ f′（ξ）Δx 以及图 1。

教师：它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系。这与前面所学的直角三角形、斜率、导数、坡度等概念可以建立起联系，从而，中值定理并不是 “无中生有”，也是那样 “平易近人”。

图1 拉格朗日中值公式示意图

学生：这个公式与物理学上的平均速率公式接近。

考虑一个作变速运动的物体，在时刻x的位移为f（x），那么在时间区间 a，b[ ]上，物体的平均速率为

教师：我们容易想到在这段时间内至少有某个时刻，物体的速率刚好等于平均速率。也就是说：在 a，b[ ]至少存在一点 c，使得 v-＝f′（c）。

讨论中获得的直角三角形、平均速率等耳熟能详的概念，有利于学生理解微分中值定理，体验到定理联系的广泛性。

3.在数学实验中体验数学思想方法

数学实验引导学生从生活经验和已有的知识背景中寻找实物模型，通过观察、实验等手段，形成感性认识，从而掌握数学概念和数学命题。学生在实验中经历探索、验证、求解的过程，体会数学是精确与近似的辩证统一。考虑到文科大学生的数学与计算机基础弱、公共课课时少的局限性，教学中主要采用学生熟悉的几何画板、Excel、函数图像生成器等常用软件或者数学实验APP，通过菜单式的操作、展示来完成观察与试验。

图2 函数极限存在性判断

这样的教学有利于学生形象直观地去判断某些函数在特殊点是否存在极限。这为深入理解函数极限的概念、分类以及性质提供了 “心智图像”与 “脚手架”。学生能感受到数学学习除开熟知的算数学、用数学之外，还有做数学的过程，体验到代数式的精确刻画与几何图形的直观描述、抽象思维与形象思维的有机融合。

（三）教表达

表达就是用数学文字、符号、图形语言来有条理地、清晰地阐述自己的观点，运用数学语言合乎逻辑地与别人沟通、交流、讨论与质疑。学习者具有良好的数学表达能力就能够借助数学语言来准确、清楚地提出问题、分析问题，凭借数学方法、数学结论来支撑自己的观点。

1.借助数学活动说数学

“学生学习的知识关键在于能够提取与应用，应用的一个渠道就是能够把它作为交流的语言，能够基于所学知识阐述自己的观点”。［14］78-80说数学是一种数学交流活动，主要包括说数学知识、说对问题的不同理解，说学习过程，说学习体会。在文科高数课中开展说数学，主要是指学生自己总结出学习内容的要点、难点和思想方法；在解答问题时，说出解题的思路、过程以及体会；发表对数学问题的不同见解等。学生在说的过程中，体验着数学知识的前因后果，达到触类旁通的目的。

比如，在期中时举办的数学文化交流活动中，有一组同学模仿北京卫视节目 《我是演说家》汇报了微积分产生的背景和历程简介，特别讲到了 “以无穷小概念为基础建立的微积分，在发展过程中也遇到了逻辑困难——缺乏严格的极限定义，微积分理论受到了人们的怀疑与抨击。直到19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，维尔斯特拉斯采用 ‘ε-N’语言定义了极限，从真正意义上给出了极限的完整定义，由此产生了完美的极限理论，为微积分提供了严格的理论基础。通过微积分的发展历程来看，数学的发展也不是一帆风顺的，也会经历许多的坎坷波折，我们的人生又何尝不是如此呢？”学生在表达微积分发展史的过程中，体验到了数学研究历程的曲折，实现了情感教育的目标。

2.在简单的数学建模中用数学

数学学习重在应用已学知识解决实际问题，表达数学观点。这种用数学语言表达社会规律的体验，循环往复，不断地积淀在学生身上，将成为终身受益的潜在能力。用数学的关键是数学建模，20世纪下半叶以来，由于计算科学与技术的快速发展，“数学建模作为应用数学方法研究包括人文社会学科在内的各领域中的定量关系的关键与基础，也越来越受到人们的重视”。［7］14-15文科生经历一些较简单的数学模型建立与应用过程，有助于利用现成的模型或数据来探索隐藏在社会现象中的内在规律。如，在导数求最值部分，组织学生研究 “可口可乐饮料罐的形状设计”问题；在线性代数部分，介绍马尔科夫链模型与天气预报、减肥配方等学生感兴趣的问题。

3.利用信息技术交流数学

学习过程中 “让学生体验把课堂知识直接应用到生产生活实践中也是有局限、有困难的”［14］78-80，更多的是对教材例题的理解、练习题目的模仿训练、现成小课题汇报。由于文科高等数学的公共课属性，任课教师在课堂外与学生直接接触的机会较少，课堂提问、答疑解惑的时间也很少。教师需要另辟蹊径，一是通过建立微信群提供交流的新平台，实现师生互动、生生互助。在学习过程中若有疑惑可及时上传到群中，教师在课下就能够及时地给予回应或者将问题抛给大家在群中讨论解答。二是教师建立高等数学学习微信公众号，刊载数学科普小论文、高等数学学习方面的文章，从而对学有余力的学生深度引导。三是建立高等数学学习小组，组长组织课堂讨论、评讲作业、小结复习，甚至试卷命题，正如夸美纽斯所言， “如果一个学生想要进步，最好的方式是把他正在学习的课题教给别人”。

三、“三教”理念下的高等数学教学实践

“三教”是对课堂教学本质属性的高度概括，是一个有机整体，没有截然的界限，三者各司其职又相互配合，共同实现对学生全面发展的培养。［8］26-30这种整体性需要在课堂教学中去实现。为体现 “三教”的理念，增强文科大学生数学学习的积极性与有效性，研究者从2017年9月起在文科高等数学课程的教学中，结合吕传汉、汪秉彝教授提出的 “情境—问题”教学模式开展教学实验。通过教材的 “二次开发”，力图让学生感受数学知识的生成，拉近与数学的距离，经历一段数学文化的欣赏之旅。

大学数学教材常常因为内容较多的缘故，编写者在编写教材时 “所有数学知识不仅都是以定论形式出现，而且几乎全部略去了知识发展的过程、命题的形成过程和问题的探索过程”。［1］85-88面对缺乏展现知识来源的教材设计，对于数学基础本来就薄弱的文科生而言，学习无疑是雪上加霜。他们常常知其结论而不知其来源，也不知极限概念在实际生产生活中有何用处。为弥补高等数学教材掐头去尾的缺陷，教学设计始终围绕为什么要学习重要极限即自然常数e（创设情境），e是如何得来的 （提出问题、解决问题），e又有何用处 （拓展应用）这一思路，通过 “情境—问题”教学模式，引导文科大学生初步知道自然常数e的来龙去脉。教学实践中，不是单纯地讲数学结论或让学生重复地练题，而是引导学生在 “做数学”中解决问题，即通过启发学生提出复利计算问题，探寻本息和规律，经历归纳探索、猜想结果、借助手机APP软件syMaxima扫描教材所提供的 “数列极限计算实验”二维码，完成实验等 “数学化”步骤，最终获得结论。

四、实验结果与分析

研究者分别于2016年12月、2017年12月对政法学院开设文科高等数学课程的2015、2016级学生进行问卷调查和文科高数综合测试，其中2016级学生从2017年9月开始以 “三教”教学理念为指导，在教学中实施 “情境—问题”教学模式，课程内容中融入数学文化资源，充分发挥学生主动性，并注重教学生思考数学、体验数学的来源与价值、教学生表达所学高等数学。

（一）学习态度的比较

学习态度是学生对学习活动的基本看法以及相应的行为活动，包含认知、情感和行为三个维度。根据心理学的研究，“学习态度是影响学生学习效果的一个重要因素，许多心理学家把学习态度看作一个居于核心地位的非智力因素，直接影响学习的效果和效率”。［15］

1.数学认知

数学认知是对数学学习目的、价值、过程和内容的判断评价。“大学文科数学对增强逻辑思维能力、促进专业发展、提高综合素养”到底有什么作用，通过该问题来调查文科大学生对于数学学习价值的认识 （见表1）。

表1 文科高等数学对学生的作用 单位：%

由表1可知，2016级学生认为数学学习价值很大的比例要高于2015级。

2.情感体验

情感是在学习过程中产生的感受体验。通过“文科高等数学学习内容的难易度、趣味性”这个问题调查学生数学学习的情感体验 （见表2）。

通过表2可知，相比于2015级，2016级学生认为文科高等数学课程内容学习容易、有趣的百分比都较高。

表2 文科高等数学内容学习情况 单位：%

3.学习行为方法

行为是个体在认知和情感的基础上产生的外显活动。学习行为能够表现学生的学习过程，通过调查大学生课外学习与课堂学习行为来了解学生学习的现状。

第一，课外学习主要调查大学生预习课程或去图书馆、网络上寻找课程资料的情况。相比于2015级，2016级大学生在选项 “课前有预习、课后也进行过查找资料”的百分比从5.00%升至7.89%；“只是进行了课前预习”这个选项百分比变化不大，两个年级分别为 6.58%、6.67%；“只是在课后找过习题的资料”占比从10.53%升至15.00%；“除开上课，什么也没有做”的比重仍然较大，分别为 73.33%、75.00%。第二，课堂学习行为调查大学生在数学课中大多数时候是在做什么。相比较于2015级，2016级文科学生 “认真听讲、作好笔记”的百分比从33.33%升到46.05%。“只听不做笔记”占比分别为16.67%、17.11%，比例有所上升，但变化不大；“学习内容较简单能够听懂的就听讲，否则不听”占比由36.67%降到了25.00%； “极少听课，做别的事情”的比例从13.33%降至9.21%。

通过对学生学习态度的三个维度统计分析可知，2016级采用 “三教”理念指导教学策略以及结合 “情境—问题”教学模式，学生的学习态度有了积极的转变，更多学生参与到课堂中来，有利于教学工作的有序开展。同时，也看到因为高等数学的公共课属性以及文科大学生专业课学习很难直接用上数学，他们数学学习时间主要是在课堂之中。

（二）数学成绩对比

为进一步检验教学改革实验的效果，在问卷调查的同时，也分别对两个年级的学生采用同一套测试题进行了文科高等数学综合测试 （总分100分），其中包含重要极限应用的专项测试题目 （9分），成绩统计如表3。

表3 2015级与2016级专项测试题、综合测试题成绩对比

从表3可知，测试题中重要极限应用的专项测试题成绩中的平均分都不高，但运用独立样本t检验 （t＝4.473， p＝0.000＜0.05） 即在 0.05的水平上差异显著。两个年级的综合测试卷面成绩平均分拉开至6分以上，再运用独立样本t检验， t＝-5.185， p＝0.000＜0.05， 成绩差异显著。测试表明，2016级学生在经历了一学期的教学改革实验之后，相比2015级，高等数学学习成绩提升明显。

通过一个学期的教学实验后，调查测评显示在教学中聚焦 “教学生思考、教学生体验、教学生表达”能促进文科大学生热爱数学学习，提高课堂教学质量，达成教学大纲确立的教学目标。数学的有效学习使文科大学生在今后的专业学习、职业发展过程中，正如美国国家研究委员会 《人人关心数学教育的未来——关于数学教育的未来致国民的一份报告》中所言：“能批判地阅读，能识别谬误，能探索偏见，能估计风险，能提出变通的方法”［16］，能够在这五彩斑斓的世界保持一份理性的思维和对数学规律的敬畏。