0.9循环等于1

2020-06-08李秀敏

科学导报·学术 2020年21期

李秀敏

摘要：中学教材小数与分数之间的转化，导致了等式的出现。而学生认为等式两边的数，个位数字1>0，所以。为解决中学生现阶段对于该等式的疑惑，本文从除法、等式的性质、等比数列前项和等中学角度，解释了这个等式，并说明以上初等理解并不严格。接着本文从高等数学的角度给出了等式的两种证明方法，第一种为实数的构造，第二种为Dedekind分割，从根本上证明了等式成立的事实。本文启发中学生从教材出发探究真理，感受数学的严谨美。

关键词：分数无限循环小数转化运算

一、问题的来源

人教版初中数学七年级上册第一章有理数对小学的正整数、正分数、0进行了扩充，加入了负数，形成了有理数的概念。整数，分数统称为有理数。对于小数，小学已经接过“一般的”小数可以转化为分数，分数也可以化为小数。

有了有理数的知识我们更知道：分数和有限小数或无限循环小数是可以相互转化的。像这种可以转化为有限小数的，很显然可以在分数和小数之间建立等價关系;而对于像和无限循环小数对应的分数，如何转化建立之间的等价关系呢？直到学习了一元一次方程，该问题才得以明确提出和解决。人教版教材七年级数学上册第92页解一元一次方程的“实验与探究”，以循环位数从一位，二位，三位...依次变大，探究了分数和无限小数之间的相互转化，从方程的角度，利用解方程给出了以上问题的具体解决方法。教材先以循环单位是一位的为例，将其转换为分数。具体过程为：设，由，所以，解方程，得.根据等式的传递性，接着教材给出“想一想”以巩固学生对一位单位循环的小数转化为分数的过程和结论。具体如下所述：“想一想：如何把像，，...，这样的无限小数化为分数形式？”由上面的证明，以上想一想的问题不难得出结论，即，，...，，且有？对于这个结论，中学生是几乎不能接受的，他们认为显然是小于1的，因为和1两个数比较大小，个位数字上的数字显然是1大，但事实是两个不同的数数值是相等的，学生的比较方法是错误的，错误产生于在无限循环小数比较大小，已经不能用有限小数比较大小的方法进行比较。

二、相等关系的接受和初步理解

下面从几个角度感受这个相等关系：

1.除法

小学阶段学习了整数的除法，，在这个除法算式中，1除以1，若先商0而不是商1，商的结果就是。，由等式的传递性。这里会存在，余数不能大于等于除数的疑惑，但注意，这里的除法并没有余数，而是要一直进行下去，这样结果也才是。

2.等式的性质

初中阶段，大家对于是接受的，观察这个等式，根据等式的性质，在等式两边同时乘以3，等式变为。到这里，学生基本可以接受这个相等关系，但这并不是严格的数学证明。因为其中有两个要考虑单被忽略的问题：

其一，当数从有限位扩大为无限位的时候，等式的性质是否依然是成立的？

其二，和是等价的两个等式，并不能以其一作为另一的证明条件。

3.等比数列

对于2，3直接应用四则运算法则是不严谨的，可参考《陶哲轩实分析》附录B。若要利用等式的性质证明，必须以皮亚诺公理（Peano）为前提，以下附皮亚诺公理[1]。

皮亚诺公理：

①1是自然数;