让小学数学课堂绽放理性光芒

【摘要】本文以《分数除以分数》为例，呈现了小学数学理性课堂追求的课例实践研究，以深入分析学情为实践研究的起点，通过积淀和碰撞坚定实践研究的方向，在研究的过程中充分考虑小学生数学理性思维的现状，通过先后经历合情推理和演绎推理以实现理性数学课堂的追求，从而培养学生的数学方法和数学思想。

【关键词】小学数学 合情推理 演绎推理 理性课堂

《分数除以分数》是苏教版数学教材六年级上册“分数除法”单元的教学内容。分数除法的计算法则是教学的难点，这不是因为学生不会按照法则进行计算，而是因为学生不易得出并理解法则。使法则的形成过程符合小学生的认知特点，是苏教版数学教材编排的一个亮点。然而，怎样借助这一编排亮点使小学数学课堂真正绽放出理性的光芒？我课题组以课例《分数除以分数》为抓手，深入研究，实践思考。

一、分析学情，找准思想的起点

在学习“分数除法”单元前，学生已经学会分数加法、减法和乘法的计算，而学习分数除法后，学生掌握了分数的四则运算。

分别对比人教版教材以及原苏教版教材内容的结构安排，可以发现，现行苏教版教材对于分数除法计算的教学安排得非常细致，从分数除以整数，至整数除以分数，最后是分数除以分数，在逻辑上逐步形成包摄性很强的法则。学生通过对例1、例2、例3的学习，已经明确了分数除以整数、整数除以分数均可以转换成相应的分数乘法进行计算。

例4和“练一练”安排研究分数除以分数。分析、解读教材，在分数除以整数的研究中，教材利用平均分的意义实现了思维迁移;在学习整数除以分数时，教材利用包含除的概念实现了算法推理;在分数除以分数的研究中，教材意图利用数形结合的方法并借助包含除的意义完成合情推理及直观验证，从而让学生逐步理解转化是必然的，并将积累的知识经验进一步归纳、推广，意图实现数学思维“理性”的飞跃。

二、积淀碰撞，坚定思想的方向

教材的编排重视推理在分数除法算法研究中的运用，然而，我们认为，只经历了例4这种相除的特例探究就匆忙进行算法的归纳，明显是有逻辑漏洞的，部分学生提出了质疑，而这些质疑我们不能视而不见。我们不得不考虑，如何让学生经历完整、严密的推理探究之旅，从而让学生对算法确认无疑，呈现数学理性思维的严谨。

基于以上对教材的解读，我们调查了学生的思维水平现状，并充分考虑衔接第三学段数学学习的需求，重新审视了本课例。虽然本课例从课型上可类归为计算课，但是小学阶段学习数的运算，不仅是正确计算的需要和解决实际问题的需要，也是学生进一步学习和发展的需要。由于六年级学生已经具备了一定的思维和探究能力，为了让计算法则的教学不是被动接受，而是主动建构的过程，课堂教学中不仅要重视合情推理在研究算法中的作用，更要借助演绎推理实现学生严谨思维的生成，从而让数学理性的思维火花真正迸发。

在人们认识世界的过程中，合情推理和演绎推理分别扮演着重要角色，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，而数学研究思路的发现主要靠合情推理。

三、经历“合情推理”，体悟合理

合情推理是指“合乎情理”的推理，归纳和类比是常用的合情推理，它们都是根据已有的事实，经过观察、猜想、比较、联想，再进行归纳、类比，从而提出猜想。在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能为我们提供思路和方向，合情推理显然贴近小学生的思维现状，利于为思维的深入搭建沟通的桥梁。

探究活动一：同分母分数相除

1.教学例题

（1）出示例题。

（2）提出猜想。

谈话组织探究活动。

（3）自主验证。

（4）展示交流。

组织交流，预设：

A.数形结合。（板贴色块展示）

B.转化成以毫升为单位计算。

C.转化成小数计算。

D.利用商不变的规律转化成整数计算。

E.假设验证。

谈话小结。（相机板书）

探究[910]÷[310]的算法，理解其算理是本环节教学的核心，教材编排从提出合理猜想起步。因为合情推理是“发现真理”的思维，它是形象思维最直接的层面，只要建立在合理的问题情境之上，猜想并不用“教”，它是顺其自然而生的思维，学生根据先前的学习经验，水到渠成地提出了对算法的合理猜想。本课例的教学实践中，预设了数形结合、转化思想和假设验证三个层次的验证方法，结合学生的学情相机出示。其中，数形结合的验证方法清晰呈现了算理;转化的验证方法实现了数学思想方法的渗透;假设验证法是教师在学生“验算”经验的层面上适当提升所得，这一假设推理整理、疏导已有的相关经验和思路，这一理性的“感悟”为后续探究奠定了理性思维的基石。

2.举例验证

（1）谈话组织研究。

明确：大量举例。

组织探究。

（2）学生自主验证，教师巡视。

（3）展示交流，分层出示。

预设：

A.一般情况：[45]÷[25]=  。

B.特殊情况，如：[67]÷[57]=  。追问：为什么不转化成小数来验证？

C.特殊情况，如[49]÷[89]=  。

（4）小组交流，追问：你们举的例子中有反例吗？

3.归纳结論

谈话回顾。（相机板贴：猜想，验证，归纳）

本环节的探究主要组织学生经历合情推理中的不完全归纳。由于学生已经有一定的探究经验，所以会想到用举例验证的方法进行研究，但学生容易先入为主，所举的例子太过单一，使得探究的有效性大大降低，故通过提问设疑来组织教学探究活动，让学生充分暴露认知的局限性，在交流中形成有效举例探究的共识，同时通过“反例意识”来组织学生完结这一阶段的不完全归纳的探究之旅。学生在所经历的“非形式”思维过程中，反思与质疑、思维与表达等能力均得到了提升，从而为逐步抽象形成理性思维架起了沟通的桥梁。

四、经历“演绎推理”，呈现严谨

演绎推理也称为逻辑推理，是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。第三学段的数学学习中，“演绎推理”是用于数学证明和研究的主要手段，但是小学生的抽象能力尚有限，过于理性的学术抽象显然会让学生在断层的思维中迷失方向，如何能真正“演绎”出数学理性的严谨呢？

探究活动二：异分母分数相除（练一练）

1.谈话设疑

预设：

A.举例验证。

B.转化成同分母。

出示“练一练”，谈话组织研究。

2.展示交流

（1）转化成同分母计算;数形结合明确算理。（相机板贴）

（2）直接乘倒数计算。

3.观察比较，沟通联系

追问：用第二种方法只验证了这一个例子，还需要更多的例子进行验证吗？

小结。（相机板书）

本环节的教学主要组织学生经历演绎推理的探究学习过程。由于学生的思维层次不同，再加上先前同分母分数相除的研究，针对“异分母分数相除”的研究，学生水到渠成地形成了两种探究的思路，这完全是学生思维能力原生态的呈现，理性的思维花火在以上两个层次的交流和推进中得以进一步迸发。然而，在这里确定思路并非难处，教学中促进理性思维提升的关键点在巧妙的追问：“利用这种方法进行研究的学生，是不是遇到异分母分数相除都要化成同分母分数相除来计算呢？”教师设疑引导学生主动观察，让学生在观察中实现自我认知的突破。通过本环节的探究学习，学生的思想从合情推理的“合理”体验逐渐上升为领略演绎推理的“严谨”魅力，那一层层推波助澜式的表达交流让数学理性抽象的线索逐渐清晰。教学中摒弃了字母抽象的形式，而是围绕[35]÷[310]这一特例展开探究，但这绝不是摒弃简洁、概括、辐射面广的优点。太过抽象的纯教条化学术抽象完全脱离了小学生需求的“理性”，这种为了理性而理性的做法并非小学数学课堂中理性教学的追求初衷。

小学阶段的技能教学既要教“术”，也要教“理”，同时更要突出对基本数学思想的感悟和数学方法的积累。研究课例《分数除以分数》，不仅帮助学生完整地统摄了分数除法计算乃至除法计算的算法，同时促使教师进一步思考和实践计算教学的力量。教师应意识到培养学生的数学方法和数学思想之于数学教学的意义，而这样的数学课堂才是真正“理性”的课堂，長此以往方能真正促进学生数学学科核心素养的发展，让小学数学课堂绽放理性思维的魅力火花。

作者简介：姚翕蔚（1985— ），女，江苏无锡人，大学本科学历，一级教师，研究方向：小学数学教学。

（责编 雷 靖）