初中数学概括思想的应用分析

山东省汶上县刘楼镇中学 李莹莹

由认识到一些事物的某种属性，特别是本质的属性，推广到认识同类事物的共同属性，这种形成概念的一种思维过程和方法叫作概括。

从以上叙述中，我们发现概括与归纳有某些相同之处，都是从特殊认识一般的思想方法，但不完全如此，二者有本质的区别。

首先，概括是对事物本质属性的认识，数学概念都是在抽象的基础上进行概括而获得的。比如把两条直线相交所成的一类角进行抽象，揭示其本质：两个角的边互为反向延长线，叫作这两个角互为对顶角，并且得出对顶角相等的性质。数学概念都源于概括，如整式与分式、方程、函数、全等三角形等。上课时教师请大家说说“多项式中怎样的项叫同类项？”不是在卖关子，而是教我们学习概括。善于概括方能深刻理解所学的概念，经过自己概括学到的概念，印象特别深刻，不容易遗忘。

其次，概括的对象包括我们进行数学活动的经验，是经验的升华。善于概括方能掌握解决一类问题的基本思路、一般方法。例如经过角平分线上一点，画角平分线的垂线，会产生一个等腰三角形，经历几次后，有的同学就学会了构造这样的等腰三角形辅助解题，这是通过概括才能获得的。具有反思习惯的同学，这样的经验便会越来越多，运用得心应手。

最后，概括是对所学数学知识和方法的提炼。有的同学学了某一章，就能清晰地阐述这一章的主要概念、基本方法、思考策略，这也是概括。华罗庚教授形象地把学习过程比喻成“先把书读厚，再把书读薄”的过程，我的体会是，在消化知识阶段积累越来越多，这就把书读厚了；在理解的基础上能概括出所学知识的精髓，这就把书读薄了。有的教材每一章结束时都选编了若干填空，让同学们回顾知识和方法，这是很有必要的，但还只停留在回顾的水平上。概括的要求更高，还得在此基础上进一步提炼。如果能把各章所学的一系列知识进行概括，对知识的理解将达到更高的水平。

例如把角平分线和线段中垂线的特征，等腰三角形、等腰梯形的判定和性质，圆的垂径定理、切线长定理等，都概括为轴对称图形的性质在不同图形上的体现，就抓住了这些图形的本质，更容易理解这些知识和方法，自觉应用。北师大的曹才翰教授甚至呼吁数学教师，与其说要为迁移而教，不如说要为概括而教，认为概括能力是数学能力的核心。

概括有两种形式：感性概括和理性概括。无论是感性概括还是理性概括，揭示的都是事物的本质属性，所获得的命题都是真命题，而归纳得到的结论就未必是真命题，这也是概括和归纳的重大区别之一。

例1：过点P 画两条直线，与⊙O分别相交于点A、B 和C、D，讨论了∠APC 的度数与它们在⊙O 上截得的两弧AC 和BD 度数的关系。除了点P在圆上，我们把∠APC 叫作圆周角外，另两类角分别称为圆内角和圆外角。请概括：什么样的角叫作圆内角？什么样的角叫作圆外角？它们的度数与所夹弧的度数各有什么关系？

图1

思考：观察图1，圆内角的顶点在圆内，是这个圆的两条弦的交角。因此圆内角的定义是：圆的两条弦相交于圆内一点，这两条弦所夹的角叫作圆内角。（注意：圆的两条弦相交于圆上一点的情况被排除）

类似地，经过圆外一点画圆的两条割线，这两条割线的夹角叫作圆外角。

再把我们计算圆内角、圆外角度数的结论概括如下：

圆内角的度数，等于它与它的对顶角所对的两条弧的度数之和的一半；

圆外角的度数，等于它所夹的两弧度数之差的一半。

请同学们自己证明。

做这道题，要善于反思：联系过去做过的题以及本题的分析，哪些策略具有一般性呢？这就是概括，它能指导我们解决类似的问题。

（1）遇到线段倍、半关系的证明，一般要把较短线段延长1 倍，或构造较长线段的一半，转化为证明两条线段相等；（2）证明两条线段相等，如果它们不在同一个三角形内，常要判定含被证线段的两个三角形全等；（3）观察对称图形是发现等线段、等角的方便途径；（4）证明两个角相等，常常通过它们与第三角的关系来实现。我们许多同学常常感叹上课听得懂，独立解题却束手无策，就是因为我们缺少解题之后的反思，即对解题思路缺少必要的概括，最终不能形成能力。积累经验就是“把书读厚”，概括就是“把书读薄”。