无界域上三维Schrödinger方程有效的谱Galerkin方法

李 晋，安 静

(贵州师范大学 数学科学学院,贵州 贵阳 550025)

0 引言

薛定谔方程产生于微观粒子的核运动，是奥地利物理学家薛定谔提出来的量子力学中的一个基本方程。它广泛地应用于原子物理、核物理和计算量子化学(参见文献[1-4])，在微观粒子问题中的求解结果与实际吻合很好。因此，有效地求解薛定谔型方程特征值问题有十分重要的意义。由于只有使用三维模型才能解释一些量子效应，因此，三维薛定谔方程的解引起了很多学者的关注(参见文献[5-10])。Joon-Ho Lee提出了一种基于Gauss-Lobatto-Legendre多项式的三维谱元法来求解纳米器件仿真问题中的薛定谔方程(参见文献[11])。陈华杰等[4]提出并分析了一种张量积上的薛定谔方程的双尺度高阶有限元离散化方案，利用该方案，可以将细网格上的特征值问题化为粗网格和部分细网格上的特征值问题。然而，如果需要高精度的数值解，即使采用双尺度高阶有限元离散方案，也需要花费大量的计算时间和内存容量。

因此，本文提出了无界域上三维薛定谔方程特征值问题的一种基于降维格式的有效的谱Galerkin方法。该方法首先利用球坐标变换和球谐函数展开，将三维薛定谔方程特征值问题化为一系列等价的一维特征值问题，从而克服了有效势中的奇性问题。其次引入了带权的Sobolev空间，建立了相应的弱形式和离散格式。然后，利用Laguerre函数构造了逼近空间，将离散格式转化为相应的线性特征系统。最后，给出了数值算例，数值结果表明我们的算法是稳定的和高精度的。

1 预备知识

在本文研究中，将频繁用到Laguerre函数的基本性质和相应的求积公式。因此，本节将介绍Laguerre函数的定义，性质及相应的Laguerre-Gauss-Radau求积公式(参见文献[12])。

1.1 Laguerre 函数

广义的Laguerre函数定义为：

及下面的正交关系和导数关系：

x∂xLn(x)=nLn(x)-nLn-1(x)

1.2 数值积分

则有

其中P2N表示次数不超过2N的多项式空间。

2 降维格式

作为一个模型，本文考虑如下的Schrödinger方程特征值问题：

(1)

利用球坐标变换：

x1=rsinθcosφ，x2=rsinθcosφ，

x3=rcosθ

我们可将(1)化为下面的等价形式：

(r,θ,φ)∈[0,∞)×[0,π]×[0,2π]

(2)

(3)

其中u(r,θ,φ)=ψ(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ)。设S为单位球面，并且记ΔS为S上的Laplace-Beltrami算子，即：

(4)

令

(5)

则由(4)、(5)式，(2)-(3)可化为下面等价的一维特征值问题：

(6)

(7)

3 弱形式和离散格式

在这一节，我们将推导问题(6)-(7)的弱形式和相应的离散格式。首先，引入带权的Sobolev空间：

其相应的内积和范数分别为：

当l=0时，定义

相应的内积和范数为：

当l≥1时，定义

相应的内积和范数为：

(8)

其中

al(ulN,vN)=λlNbl(ulN,vN)，∀vN∈XN(I)

(9)

4 算法的有效实现

为了有效求解离散格式(9)，我们取逼近空间为：

(10)

设

令

(11)

将(11)式代入(9)式，让vN取遍逼近空间XN(I)中的所有基函数,可得到如下的线性特征系统：

其中

A=(aij)，B=(bij)，C=(cij)

定理1 对于基函数(10)，矩阵A，C,D是对称带状矩阵，矩阵B是单位矩阵，即：

当|i-j|=1， |i-j|≥3时，aij=0；

当|i-j|≥2时，cij=0；

当|i-j|≥3时，dij=0。

证明为了简单起见，我们仅证明矩阵C的稀疏性，其它矩阵的稀疏性能够类似地推导。

=(1+i+j)δij-iδi-1,j-jδi,j-1

因此，当|i-j|≥2时，cij=0。

从定理1我们能够看出矩阵A，B，C,D都是稀疏的。

5 数值结果

为了表明算法的有效性，我们在MATLAB2016a的环境下进行一系列的数值测试。对于不同的l和N，我们分别在表1、表2和表3中列出了前3个特征值的数值结果。从表1可知，当N≥20时，第一个特征值λ1达到至少12位有效数字，第二个和第三个特征值λ2、λ3达到至少15位有效数字。另外，从表2可知，当N≥30时，前3个特征值λ1、λ2、λ3达到至少15位有效数字。从表3可知，当N≥30时，前2个特征值λ1、λ2达到至少15位有效数字，第三个特征值λ3达到至少9位有效数字。即我们的算法只需要花费少量的自由度便可获得很高的计算精度，从而节省了大量的计算时间和内存容量。作为比较，我们在表4中列出了方程(1)由有限元方法计算的数值结果[参考文献4]，从表4我们可以观察到，当自由度达到48×12×12时，它的误差仅为0.001 827，从而表明我们的算法具有一定的有效性。

表1 l=0时Schrödinger方程特征值问题前3个特征值的数值结果Tab.1 The numerical results of first three eigenvalues with l=0 for the eigenvalue problems of Schrödinger equations

表2 l=1时Schrödinger方程特征值问题前3个特征值的数值结果Tab.2 The numerical results of first three eigenvalues with l=1 for the eigenvalue problems of Schrödinger equations

表3 l=2时Schrödinger方程特征值问题前3个特征值的数值结果Tab.3 The numerical results of first three eigenvalues with l=2 for the eigenvalue problems of Schrödinger equations

表4 三角有限元方法第一个特征值的误差估计Tab.4 Estimates for the first eigenvalues by tricubic elements