数形结合 自然生成

文刘 佳

数与形，是数学研究的两个最基本的对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表达。我们把数量关系和空间形式结合起来研究数学问题的方法叫做数形结合。很多问题，仅从代数角度考虑，很难入手，如果借助图像的直观性将抽象的数学概念、复杂的数量关系具体化、形象化，给人以直观的感受，那么很多难题都将迎刃而解。

在一次函数的学习中，这种根据函数图像的性质和图像中特殊点来解决代数问题的应用非常广泛。我们通过解决“一元一次方程kx+b=0（k≠0）的根和一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与x轴交点的关系”“一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0，或kx+b≥0 等）的解集关系”“两个一次函数在有交点的情况下比较两个函数值的大小关系”等诸如此类的问题，逐步体会用数形结合的思想来解决数学问题的便捷性。

一次函数是初中数学的一个重点，数形结合思想在一次函数中的应用也是中考命题的一个热点。本文结合2019年南京市中考数学试卷第23题，谈一谈数形结合思想在实际解题中的应用。

例 （2019·江苏南京）已知一次函数y1=kx+2（k为常数，k≠0）和y2=x-3。

（1）当k=-2 时，若y1＞y2，求x的取值范围。

（2）当x＜1 时，y1＞y2。结合图像，直接写出k的取值范围。

【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与一元一次不等式、一元一次方程之间的关系，一次函数图像与k、b值之间的关系等。

问题（1）可用代入法并建立不等式解答，也可利用函数图像解答。

问题（2）关键是随着k值的变化，熟悉y=kx（k≠0）、y=kx+b（k≠0）函数图像的变化规律，即“实践操作经验”。

当k＞0 时，随着k值的逐渐增大，y=kx（k≠0）位于第一象限的图像与x轴正方向的夹角逐渐增大，并且向y轴无限接近，可看成其图像绕原点作逆时针旋转；当k＜0 时，随着k值的逐渐增大，y=kx（k≠0）位于第二象限的图像与x轴正方向的夹角逐渐增大，并且向x轴无限接近，也可看成其图像绕原点作逆时针旋转。

y=kx+b（k≠0）的图像可看作是把y=kx（k≠0）的图像沿y轴平移 ||b单位后所得，随着k值的逐渐增大，其图像的变化与y=kx（k≠0）的图像类似：当k＞0 时，随着k值的逐渐增大，y=kx+b（k≠0）位于x轴上方的图像与x轴正方向的夹角逐渐增大，并且向y轴无限接近，可看成其图像绕点（0，b）作逆时针旋转；当k＜0 时，随着k值的逐渐增大，y=kx+b（k≠0）位于x轴上方的图像与x轴正方向的夹角逐渐增大，并且向过点（0，b）且平行于x轴的直线无限接近，也可看成其图像绕点（0，b）作逆时针旋转。

两个一次函数y1=k1x+b1（k1≠0）、y2=k2x+b2（k2≠0）且b1≠b2的位置关系：当k1≠k2时，两直线相交；当k1=k2时，两直线平行。

如图1，本题的关键是先求出当x=1时，两函数图像的交点坐标为A（1，-2），然后过点（1，0）作垂直于x轴的直线l；由y1的关系式可知该图像经过y轴上的点（0，2），设为点B，此时y1即为直线AB，可以求出此时k=-4。当x＜1 时，在直线l的左侧y1＞y2，所以k=-4 是符合题意的解。

如图2，只要两函数图像的交点A沿着y2的图像向右上方移动，即y1绕点B逆时针旋转，所得到的k值均符合题意。

如图3，随着k的增大，点A沿着y1的图像向右上方移动。当k=1时，y1与y2平行，符合题意。

如图4，当k＞1 时，y1与y2的图像交点在第三象限。当x＜xA′时，y1＜y2，所以不符合题意。

此外，需要关注到已知条件中k≠0。

综上分析，k的取值范围为：-4≤k≤1且k≠0。

解：（1）当k=-2时，y1=-2x+2。

根据题意，得-2x+2＞x-3。

（2）-4≤k≤1且k≠0。

一次函数的重点和难点是一次函数图像及其性质，我们只有在对一次函数图像及其性质有充分理解的前提下才能根据关系式或图形来构建数学模型，实现数与形的结合。在这一类函数的问题中，我们应抓住特殊的点及其所表示的实际意义，从而把复杂的过程简单化。

我国著名的数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”在初中数学学习中，数形结合思想在一次函数的学习中占着非常重要的分量。让我们一起来感受它带来的惊喜吧！