挖掘数学文化价值 促进核心素养培养

莫邦哲　邵延会

【摘 要】数学文化的教育价值在于培养学生的数学思维方式，形成正确的数学观念，并使之成为数学的核心素养。研究者以“等差数列的前n项和”为例，挖掘数学文化中的思想方法的典型性、思维活动的创造性、数学表达的深刻性，促进学生数学核心素养的培养。

【关键词】数学文化;核心素养;等差数列求和

【作者简介】莫邦哲，正高级教师，广西数学特级教师，广西八桂教育家摇篮工程学员，广西师范大学大学基础教育研究院兼职研究员;邵延会，一级教师。

【基金项目】广西“十三五”规划2019年度课题“新时代西部示范性高中卓越课程建设研究——以柳州铁一中学为例”（2019C292）

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《新课标》）把数学文化贯穿于课程的全过程，不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。《新课标》指出，高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养;依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联，重视数学实践和数学文化。《新课标》还进一步指出，数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动[1]。但是在实施意见中，如何渗透数学文化，如何挖掘数学文化的育人价值等关键问题，《新课标》却没有进行具体阐释，也没有给出可操作的指导意见，为此，笔者以“等差数列的前n项和”为例进行研究。

一、教学分析

“等差数列的前n项和”是人教版高中数学必修5第二章的内容。很多教师的教学设计都是从“数学天才高斯10岁计算1+2+3+…+100”的故事引入。这个故事能积极调动学生的学习热情，同时也给出了一个“不值一提”的等差数列求和的简单例证。其次，教师会提出这样一个问题：等差数列从第1项到第n项的和如何求？教师一般会提示学生仿照高斯算法（倒序相加），利用等差数列下标和性质，化简得到等差数列的前n项和公式。接着，教师示范如何用公式求等差数列的前n项和。最后，教师让学生练习巩固。其实本节课的教学重点在于公式的推导和运用，然而有的教师对公式的推导却轻描淡写，用高斯的算法故事带过，高斯的算法故事成了教学的噱头，甚至是回避教学难点的方法。数学文化的价值在于培养学生数学思维方式，并形成正确的数学观念，使之成为数学的核心素养。从这个意义上说，数学核心素养培育的过程就是数学文化孕育的过程，数学文化中所蕴含的思想方法的典型性、思维的创造性、表述的深刻性是进行数学文化孕育的重要原材料。

二、数学文化价值的挖掘

（一）挖掘数学思想方法的典型性

高斯算法的教学价值何在？是否只是一个天才的故事，抑或是一個等差数列求和的简单案例？如果是这样，那么故事的内容对于高中学生而言却过于简单。在教学中，如果教师对故事不加以改造，学生就不会想到其中蕴含的数学思想——对称的思想、配对的思想、数形结合的思想，以及数学的简洁美。因此，高斯算法的故事的教学价值不在于高斯的聪明，而在于故事中所蕴含的数学思想方法的代表性和典型性，这是教师在教学中需要挖掘的。结合学生实际情况，笔者对高斯算法的故事进行了挖掘，增加了下面三个教学环节。

环节一：计算1+2+3+…+101的值。

该教学环节是对高斯算法的反思与简单推广，让学生对对称性和配对思想有所感悟。将高斯算法从1+2+3+…+100推广到1+2+3+…+101，引导学生通过对比两式，发现它们的共性：首尾两数配对后仍然具有“等和”的特点，因此用高斯的算法仍然适用。与此同时，教师还要引导学生发现它们之间的个性：第一个算式是偶数项，恰好成双成对，第二个算式是奇数项，配对后剩余一个中间项，而此中间项是配对的两数和的平均数。通过简单的推广，让学生感悟到具有等和特点的数都具有共同的平均数，这些数以中间项为中点排列构成一个数列（等差数列），从而突出等差数列具有等和的性质，以及中心对称的几何特征，为教学环节二和环节三做铺垫。

环节二：化简1+2+3+…+101+…+n。

教学环节二是将高斯算法从有限项推广到任意项的情形，把具体问题一般化。在该题的求解中，学生通过类比教学环节一的做法可以很快算出结果，但是计算的过程存在不少问题，而对这些问题的反思和解决，正是我们挖掘高斯算法故事的价值所在。例如学生不考虑n的奇偶性而直接套用结论，无法说出所得结果的算法意义，导致把问题推广到更一般的等差数列之后，学生不会运用倒序相加法。教师引导学生对n的奇偶性进行讨论后，一方面需要运用配对法来解题，另一方面也在不断渗透等和与对称的知识表征，为引出等差数列的求和做铺垫。

环节三：an是等差数列，求a1+a2+…+an的值。

通过教学环节一和环节二的铺垫，学生对自然数形态的等差数列的求和有了进一步的认识，能提炼出高斯算法中的等和性和对称性，为把问题推广到更一般的等差数列奠定了实践基础。在该题的求解中，教师可以通过设计支架性问题对学生进行引导：an=n是等差数列，求1+2+3+…+n的和运用了倒序相加的方法，那么求等差数列的前n项和是否也可以采用倒序相加的方法？

至此，通过设计三个教学环节，挖掘高斯算法的数列特征，把高斯算法从有限项的运算推广到任意项的情形，再推广到更一般的情形。

（二）挖掘数学思维活动的创造性

等差数列求和为什么要倒序相加？不倒序相加可以吗？怎么想到倒序相加的？在课堂教学中，笔者发现这是一个很有趣的问题。很多教师认为借助高斯算法的故事，这些问题的解决是一个很自然的过程。但是从实际的教学过程来看，学生却感到不好理解，教师认为高斯算法很简单、很好理解，所以从特殊到一般，从具体到抽象应该是一个很自然的过程。而学生却很茫然，因为他们觉得求1+2+3+…+100以及1+2+3+…+n的值没问题，但对如何求解a1+a2+…+an却没有思路。因为1+2+3+…+100=5050，1+2+3+…+n=f（n），而a1+a2+…+an能用什么样的式子来表达却不明白，即使学生能用n（n+1）2表示1+2+3+…+n的运算结果，并不意味着他们就能运用倒序相加的方法来推导，即学生对n（n+1）2的意义未必真正理解，而这正是倒序相加的关键。学生对n（n+1）2的理解更多是基于对100×（100+1）2类比，但是把一个式子重新写一遍，而且是把顺序倒过来，就不再是一种类比，而是一种思维的创新。