基于APOS理论的指数函数概念教学设计
2020-06-04尹梦伟袁璐
尹梦伟 袁璐
[摘 要] 概念是数学学习的基础，APOS理论是一种建构主义的数学学习理论，将数学概念的学习分为活动、过程、对象和图式四个阶段。在APOS理论的指导下，以“指数函数”为例，进行四阶段的教学设计。
[关键词] APOS理论;数学概念;指数函数;概念教学
[作者简介] 尹梦伟（1995—），女，山东青岛人，青岛大学数学与统计学院在读研究生，研究方向：数学教育。
[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2020）19-0279-02 [收稿日期] 2019-09-20
函數在高中阶段的数学学习内容中有举足轻重的地位，而函数概念的抽象性往往会造成学生理解的困难。“指数函数”作为高中阶段学习的第一个基本初等函数，为后续研究对数函数、幂函数提供了方法和模式，因此学好指数函数至关重要。然而学生的学习现状却并不乐观，存在着系数、指数考虑不周，概念、图像理解不够深刻等诸多问题。美国数学家Dubinsky于20世纪末期提出了APOS理论，这对数学概念教学有非常重要指导意义。如何运用APOS理论指导指数函数概念的教学就成为本文要解决的问题。基于此，笔者借助几何画板，本文以指数函数的教学设计为例浅谈APOS理论在数学概念教学中的应用。
一、APOS理论概述
APOS是由英文action（活动）、process（过程）、object（对象）、schema（图式）的首字母所组合而成的缩写词，代表着学生在发展他们对数学概念的理解时所构建的心理结构（活动、过程、对象和图式）的类型[1]。
活动是个体对于感知到的外部刺激进行转换，当学习者不断重复此活动并对其进行反思时，不再依赖于外部的持续刺激便能知其思想描述或反思活动，就已到达过程阶段。当学生意识到把过程作为一个整体并且能够对该整体实施操作时，该过程被压缩为一般的数学对象。从过程转移到对象为从更高层次进行研究提供了可能[2]。
二、文献综述
2006年，张伟平通过分析课例指出，APOS理论指导下的数学概念探究课可以有效提高学生的数学概念建构水平。2007年，濮安山和史宁中的研究表明我国大部分高中生能达到函数概念建构的操作阶段和过程阶段，只有较少的学生能达到对象阶段和图示阶段;侯晓娟指出数学教学方式需发展学生的应用意识和创新意识，并以“指数函数”为例进行了教学设计。
三、APOS理论视角下的指数函数教学设计
（一）活动阶段
1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……以此类推，1个这样的细胞经过x次分裂后，得到的细胞个数y与x有怎样的关系？
2.《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取之半，万世不竭”。请你写出取x次后，木棰的剩留量y与x的函数关系式。
（二）过程阶段
1.上述两个关系式是函数关系吗？它们有什么共同特征？
设计意图：通过提问该问题，学生可以通过“一一对应”的原则判断出这两个关系式均为函数，为后面讨论指数函数的图像并研究其性质做了铺垫;通过让学生归纳概括这两个函数关系式的共同点，使学生得到3个共同要素：两等式均为指数形式;底数为常数;自变量在指数位置。
2.这两个表达式都可以写成什么形式？
设计意图：提此问题可以使学生在上一问的基础上，找到两函数的不同之处——即底数，将底数用字母a表示，此过程需要学生能够积极主动地探究，教师可以适当给出提示，帮助学生完成这个概括过程。
（三）对象阶段
1.若用字母a来表示常数，将定义域推广到全体实数，抽象出指数函数的表达式，并用数学化的语言给指数函数下定义，教师板书指数函数的概念：一般地，函数y=a（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域为R。
为什么规定a>0且a≠1？
设计意图：“对象阶段”需要给上一阶段抽象出的本质特征赋予形式化的定义和符号。在“过程”阶段已经归纳出共同特征的基础上，依据其异同，给出一个具有概括性的数学表达式。
2.判断下列函数是否为指数函数。
设计意图：通过解决例题，可使学生巩固指数函数的定义，加深对指数函数概念的理解，为后面探究其性质作铺垫。在这一过程中，学生需明确用概念作判断的“操作步骤”：一是看系数：系数必须为1;二是看底数a：a>0且a≠1;三是看指数：只能为自变量x，不能是自变量的其他表达式。
3.学习函数的一个重要目的就是应用，但应用之前我们必须对函数的性质有一个充分的认识。数学上我们常借助图像研究函数的性质。大家还记得如何画出一个给定函数的图像吗？可以通过图像来研究函数的哪些性质？
教师借助几何画板呈现这四条函数图像，为接下来探究性质做准备。
从图像的单调性来看能否将这4个函数分为两类？你还能通过图像得到什么信息？
设计意图：让学生回顾如何作图，目的是为接下来自主绘图做准备。分组作业可节省时间。
这一过程需充分调动学生的积极性，提高课堂上学生的参与程度，体现学生的“主体性”，教师引导学生依据底数a的大小将4个函数分为两类：0
依据APOS理论的要求，学生在“对象阶段”需将指数函数看作是一个整体，不再着眼于“底数”“系数”“指数”这些要素，而是对“指数函数”这一整体进行探究，绘制其图像，研究单调性、奇偶性等性质。
（四）圖式阶段
1.比较下列各题中两个值的大小。
设计意图：3道练习题分别考查了比较指数函数值大小的三种情况：底数相同指数不同;底数不同指数相同;底数指数均不同。学生在解决此类问题时，需要依据底数的大小画出函数图像，再依据函数性质进行比较。通过设计此练习，可使学生达到对概念认识的进一步深化，便于学生将新概念与头脑中已有的其他概念、规则、图形等建立联系，在头脑中构成综合的认知结构。
设计意图：此题为复合函数求定义域和值域，学生在此前的学习中虽然尚未学习过复合函数这个概念，但其若能对指数函数和二次函数的概念有一个精准的把握，便可解决此题。
3.我们今天所学的内容能与之前的内容联系起来吗？你能把指数函数这个新知识纳入你原先的知识结构中吗？（引导学生绘制知识网络图）
设计意图：通过让学生绘制知识网络图，可使学生将新的概念与头脑中原有的概念建立联系，完成新概念建构的高级阶段，即达到APOS理论的图式阶段。
四、教学反思及建议
实践表明，APOS理论指导下的数学概念教学能够有效激发学生的学习兴趣、增强学生的课堂参与度，深化对新知识的理解。APOS理论的四个阶段是紧密联系的，教师在教学过程中切勿将其割裂开来，应注意四阶段的连续性;建构主义理论认为学习是学生积极主动地建构新知的过程，因此教师应在发挥自身主导作用的同时，创造条件和时机充分发挥学生的主体地位。
参考文献
[1]Mathematical Objects Through the Lens of Two Different Theoretical Perspectives：APOS and OSA[J].Educational Studies in Mathematics，2016，91（1）：107-122.
[2]乔连全.APOS：一种建构主义的数学学习理论[J].全球教育展望，2001，30（3）：16-18.
Teaching Design of Exponential Function Concept Based on APOS Theory
YIN Meng-wei， YUAN Lu
（School of Mathematics and Statistics， Qingdao University， Qingdao， Shandong 266071， China）
Abstract：Concept is the basis of mathematics learning， and APOS theory is a constructivism mathematical learning theory， which divides the learning of mathematical concept into four stages： activity， process， object and schema. Under the guidance of APOS theory， this paper takes exponential function as an example to carry out four stages of teaching design.
Key words：APOS theory; mathematical concept; exponential function; concept teaching
