HTI介质方位转换波反射系数一阶扰动近似

刘宏英 吴国忱*② 单俊臻 杨 森

(①中国石油大学(华东)地球科学与技术学院，山东青岛 266580；②海洋国家实验室海洋矿产资源评价与探测技术功能实验室，山东青岛 266071)

0 引言

自Knott[1]、Zoeppritz等[2]提出振幅随入射角变化的理论以来，因其理论公式结构复杂且物理意义不够明确，人们根据不同研究目的进行了简化与近似。Koefoed[3]给出了精确Zoeppritz方程关于泊松比的反射系数。基于界面上、下弹性参数变化较小的假设，Aki等[4]由散射矩阵推导出P波、SV波反射/透射系数近似表达式。

裂缝型油气藏为非常规油气勘探的重要领域，因储层中存在高角度或近似垂直的裂缝被等效为HTI介质，其地震响应呈方位各向异性特征。Rüger[5]基于Thomsen[6]理论建立了HTI介质纵、横波反射/透射系数近似公式；梁锴等[7]结合TTI介质相速度与偏振方向的关系，推导了TTI介质的弹性波反射/透射近似方程；宗兆云等[8]提出由杨氏模量与泊松比表征的纵波反射系数方程；司芗等[9]推导了TTI介质的准纵波反射系数方程；李春鹏[10]基于HTI介质刚度矩阵得到HTI介质反射/透射系数精确方程；基于介质分解理论与扰动理论，Wu等[11]对TI介质岩石弹性模量进行了一阶扰动近似；单俊臻等[12]推导了方位观测系统纵波入射情况下HTI介质纵波反射系数一阶扰动近似公式。

AVO技术依靠反射系数构建弹性参数与实际数据间的关系。朱兆林等[13]通过模型分析，对比了不同近似方程的精度。毛宁波等[14]基于Rüger近似方程分析了四类裂缝型砂岩储层模型在含油气时的方位AVO特性。

相较于纵波AVO分析，对特征相对复杂的转换波AVO的相关研究较少，实际上横波较纵波对各向异性更敏感。随AVO技术的发展与多波、多分量地震勘探技术的应用，纵、横波资料相结合的重要性逐渐凸显。常规地震勘探中通常利用PP波近似公式获取地层弹性参数，但精度不高。联合转换波与纵波反射系数一阶近似公式进行AVO分析，通过振幅变化信息可获得更精确的储层信息。业界从入射角与反射系数关系出发，分析转换波AVO特征。Bortfeld[15]基于界面参数差异微弱假设，率先推导了PSV波反射系数近似式。Donati等[16]基于Aki近似，得到了体现速度与密度相对变化的转换波近似公式。郑晓东[17-18]、杨绍国等[19]提出由入射角的正弦函数组成的幂级数表示的转换波近似式。李正文等[20]利用PSV波AVO分析方法，获得了横波速度信息与密度信息。Ramos等[21]基于Aki近似方程，给出了幂级数形式的反射系数公式。孙鹏远[22]结合截距梯度理论，提出新的转换波AVO理论体系。唐旭东等[23]讨论了不同转换波近似公式的推导方法及精度。各类近似方程在大入射角情况下，大都无法准确描述转换波振幅变化规律，且由于地震数据随方位变化，对于PSV波方位反射系数的研究也相对薄弱。

本文基于HTI介质反射/透射系数精确表达式，根据介质分解理论与扰动思想，在弱各向异性假设条件下，推导了PSV波反射系数近似表达式，通过正演模拟分析振幅随方位的变化特征，并讨论方位转换波反射系数对各向异性参数的敏感性。在保证与Aki近似方程精度相近的条件下，补充了方位维度，为转换波的方位特征分析及相关弹性参数反演提供了理论基础，可进一步联合纵波方位地震资料准确地预测储层。

1 HTI介质PSV波反射系数一阶近似

中深部层系受构造运动与压实作用等影响，多发育有高角度或近垂直排列的裂缝，在弱各向异性假设下，将描述VTI介质的Thomsen各向异性参数进行角度变换(对称轴旋转90°)，转化为描述HTI介质的各向异性参数。对比Rüger[5]与Thomsen[6]的各向异性参数表达式可知，两者的横向各向异性介质表达式一致，但刚度矩阵不同。

HTI介质刚度矩阵元素在各向异性参数较小时可由弱各向异性参数δ(V)、ε(V)、γ(V)表述

(1)

式中：δ(V)与准纵波在垂直方向传播和沿 45°入射角传播时的各向异性有关；ρ为介质密度参数；α为垂直入射P波速度；β为垂直入射SH波速度。

由HTI介质反射/透射系数精确方程[10]可得P波入射时散射矩阵R与相关系数矩阵M、N关系的精确方程

MR=N

(2)

即

(3)

M、N的矩阵元素与入射波、散射波相关，由弹性矩阵元素、纵横波速度及三角函数构成；R的矩阵元素为各波型的反射(RPP、RPSV、RPSH) /透射(TPP、TPSV、TPSH)系数。

基于扰动理论对式(2)线性化处理，将弹性参数与各向异性参数进行扰动近似，使式(2)线性化。假设两套地层弹性界面处储层参数差异较小，将各向异性程度较低的围岩介质视为均匀各向同性背景项，把弹性参数以及各向异性参数的变化视为扰动项，则R、M、N可分解为背景项与扰动项之和

(4)

式中：Mu、Ru、Nu为背景项，描述不受方位影响的弹性参数； ΔM、 ΔR、 ΔN为扰动项，描述弹性参数扰动变化与各向异性参数变化。

当qP波非垂直入射到HTI介质地层弹性界面时，产生反射qP波、反射qSV波、反射qSH波、透射qP波、透射qSV波、透射qSH波(图1)。设入射角为θ、方位角为φ，将地震波相速度与偏振方向分解为背景项与一阶扰动项，在弱各向异性条件下，忽略各向异性参数高阶项，则qP波、qSV波、qSH波相速度分别为

(5a)

βSH(θ,φ)≈β[1+γ(V)sin2θcos2φ]

(5b)

将式(5)代入Christoffel方程得到HTI介质精确偏振方向表达式，将梁锴等[7]推导的TI介质地震波近似偏振方向进行角度变换，得到HTI介质偏振方向

(6)

图1 qP波入射到单界面时的反射、透射示意图

式中ε、γ、δ为Thomsen[6]各向异性参数，与Rüger[5]各向异性参数存在以下关系

通过调整常数c以保证地震波偏振方向x分量为正。式(6)中

(7)

同理，各弹性参数及角度在弱各向异性条件下，可表征为背景项与扰动项

(8)

式(7)和式(8)中:α、β、ρ、θP、θSV及θSH分别表示垂直入射时纵波速度、横波速度、密度及P波、SV波、SH波的入射/反射角均值； 下标1、2分别代表界面上、下介质； Δ表示取界面上、下参数差值。

保留弹性参数一阶项，则

R=Ru+(Mu)-1(ΔN-ΔMRu)

(9)

由于围岩呈各向同性，不存在反射波，故入射纵波产生透射纵波的透射系数为1，各向同性介质的反射/透射系数矩阵为

Ru=(Mu)-1·Nu=[000100]T

(10)

将式(10)代入式(9)，得反射系数为

R=[ΔR1ΔR2ΔR31+ΔR4ΔR5ΔR6]T

(11)

式中的矩阵元素依次表示P、PSV、PSH波反射/透射系数的一阶近似扰动量。

忽略各向异性高阶项并化简，得

RPSV=ΔR2

(12)

结合小入射角近似条件，得到P波入射情况下PSV波反射系数公式

Δγ·2cosφ[tanθSVcosθP+k2sin3θPcos2φ(1+k2sin2θPcos2φ)]+

(13)

式中k为横纵波速度之比。当入射角较小时，忽略三角函数3次方以上高阶项，则式(13)简化为

Δγ[2cosφ(tanθSVcosθP+k2sin3θPcos2φ)]+

(14)

考虑各向同性介质，式(13)退化为平面PS波反射系数

(15)

在小入射角的近似条件下，式(13)与Aki等[4]及Rüger[5]的各向同性公式形式相同。由于式(13)～式(15)中不含纵波速度相对变化量，因此PSV波不受上、下界面纵波速度变化的影响。

综上所述，转换波AVO信息较PP波信息更单纯，某些特性优于PP波[20]。

2 HTI介质PSV波反射系数一阶近似正演分析

PSV波反射系数方程由各向同性参数项与各向异性参数项组成，两部分对反射系数影响程度不同。在小入射角情况下，反射系数主要受各向同性参数项控制，各向异性参数项因其系数包含三角函数项而影响微弱，随入射角逐渐增大，各向异性参数影响逐渐增大。由于式(13)在小角度入射条件下可与Aki近似式相互转化，故两者的区别在于各向异性参数部分。反射系数曲线特征与精度差异也由方位各向异性参数项引起。式(13)与Aki近似式、Rüger近似式的各向同性参数项相近，但各向异性参数项的表述形式不同。随方位角逐渐增大至90°，PSV波反射系数仅由横波速度与介质密度控制，各向异性参数对反射系数影响逐渐减弱，各反射曲线间的差异逐渐减小。

为验证式(13)的精度，设计方位观测HTI介质三层模型(图2)进行正演分析，将式(13)、精确方程、Aki近似公式、Rüger近似公式得到反射系数曲线进行对比。

2.1 模型Ⅰ的AVO分析

表1为模型Ⅰ的介质弹性参数。图3为方位角为0°、30°、60°时模型Ⅰ的PSV波反射系数曲线。由图可见，不同反射系数近似式在小入射角时精度较高，随入射角增大，各近似式的反射系数与精确方程产生不同程度的差异，表现为：①对于上界面，式(13)的精度高于Rüger近似式、低于Aki近似式；由于式(13)忽略了各向异性参数正弦函数高阶项，在入射角较小时与Aki近似式的反射系数曲线趋势不同，随方位角增大，两者的反射系数曲线趋势趋于一致(图3a)。②对于下界面，在小入射角时式(13)与Aki近似式精度相近，在大入射时式(13)的精度略低于Aki近似式、高于Ruger近似式；随着方位角的增大，式(13)与Aki近似式的反射系数曲线趋势趋于一致(图3b)。

表1 模型Ⅰ的介质弹性参数

图4为模型Ⅰ的PSV波反射系数曲面。由图可见：在小入射角情况下，上、下界面反射系数曲面波动不大，即反射系数随方位角变化特征不明显；随入射角逐渐增大，方位变化特征愈加明显。由于地层等效为HTI介质，假设测线方向与水平对称轴同向，则平行对称轴方向(方位角为0°)时反射系数随入射角变化幅度最大，垂直对称轴方向(方位角为90°)时反射系数随入射角变化幅度最小。可根据这种方位差异分析PSV波方位AVO特征并进行相关地震资料解释。

图2 方位观测HTI介质三层模型(a)模型Ⅰ； (b)模型Ⅱ假设上、下HTI介质对称轴同向，且与测线方向平行

图3 方位角为0°(左)、30°(中)、60°(右)时模型Ⅰ的PSV波反射系数曲线(a)上界面； (b)下界面

图4 模型Ⅰ的PSV波反射系数曲面(a)上界面； (b)下界面

2.2 模型Ⅱ的AVO分析

表2为模型Ⅱ的介质弹性参数。图5为模型Ⅱ上、下界面PSV波反射系数曲线、反射系数曲面。由图可见，当界面两侧均为HTI介质时，式(13)仍然适用，在小入射角时式(13)的精度高于中、大入射角；与模型Ⅰ类似，反射系数随方位角的变化特征不明显，随入射角增大，方位特征愈加明显。表现为： ①对于上界面，式(13)精度高于Rüger近似式、与Aki近似式相近； 式(13)、Rüger近似式与精确方程反射系数曲线拟合程度更高，原因在于Aki近似式仅含各向同性参数项，故在界面上、下均为HTI介质情况下，Aki近似式与精确方程差异更大(图5a左)。②对于下界面，式(13)与Aki近似式间的差异随方位角增大而减小，即各向异性参数对反射系数影响减小； 当方位角增大至90°时，各向异性参数对反射系数无影响，反射系数完全由横波速度与密度的相对变化项控制(图5a右)。③上、下界面都出现在小入射角时反射系数曲面方位特征不明显现象，随入射角增大，反射系数随方位角变化特征愈加明显；当界面上、下介质各向异性参数差越大时，反射系数随方位变化越明显(图5b)。

表2 模型Ⅱ的介质弹性参数

图5 模型Ⅱ上(左)、下(右)界面PSV波反射系数曲线(a)、反射系数曲面(b)

2.3 不同方位转换波共中心点道集对比

构建HTI介质单界面模型(弹性参数与模型Ⅱ下界面相同)，利用主频为30Hz的雷克子波与式(13)、 Aki近似式及精确方程模拟平面波共中心点道集，得到不同方位角PSV波共中心点道集(图6)。可见：式(13)与精确方程模拟结果的振幅方位变化特征基本一致且较明显，Aki近似式模拟结果无法体现方位变化特征；当方位角为0°时，在大入射角范围内精确方程与式(13)的模拟结果均呈极性反转(图6a)，更精确地体现了转换波在弹性界面处的反射特征。因此，式(13)更适用于方位地震资料，可更好地认识方位AVO变化规律。

2.4 各向异性参数敏感性分析

由于不同近似式对各向异性参数表述不同，为进一步了解各向异性参数与方位角的变化对反射系数的影响，观察各向异性参数变化时对反射系数的影响程度。图7展示了模型Ⅱ中ε(V)、δ(V)、γ(V)变化对反射系数的影响。由图可见：①当方位角为0°时，各向异性参数变化对反射系数影响较大(图7a)，当方位角为90°时，反射系数不受各向异性参数变化的影响(图7b)。这是由于当方位角为90°时，测线方向与HTI 介质对称轴垂直，介质不体现各向异性特征所致。②在小入射角时，各向异性参数变化几乎不影响反射系数，在大入射角时反射系数受各向异性参数变化影响。③γ(V)变化对反射系数影响最大(图7a左、图7b左)，ε(V)变化对反射系数影响最小(图7a右、图7b右)，且各向异性参数变化对反射系数的影响与方位角有关。

综上所述，式(13)适用于模拟各向同性/HTI界面反射系数，且精度高于Rüger近似式，通过正演模拟反射系数及共中心点道集验证了其可行性。不同反射系数近似式在小入射角时精度较高，随入射角增大，误差逐渐增大。入射角范围不同，反射系数主控因素不同，文中涉及的反射系数公式的主要区别在于各向异性参数项，故在小入射角时各公式间的差异不大。

图6 不同方位角PSV波共中心点道集(a)φ=0°; (b)φ=30°; (c)φ=60°自上至下的同相轴依次由式(13)、Aki近似式、精确方程所得

图7 模型Ⅱ中γ(V)(左)、δ (V)(中)、ε (V)(右)变化对反射系数的影响(a)φ=0°; (b)φ=90°横波速度与密度相对变化量不变，各向异性参数相对变化量在0～0.1的范围内以0.01为步长变化

3 结束语

本文基于介质分解理论与扰动理论，由HTI介质反射/透射系数精确方程出发，推导了PSV波方位反射系数一阶近似公式，并选取方位观测HTI介质三层模型验证其可行性，分析了不同方位转换波振幅变化特征，讨论了各向异性参数变化对反射系数的影响。经模型验证分析，本文所推导的PSV波反射系数一阶近似方程与反射系数精确方程曲线趋势一致，更适用于模拟各向同性/HTI界面反射系数，提高了PSV波AVO分析精度，可结合PP波方位反射系数方程进行叠前地震储层预测。