时间模上p-Laplacian方程两点边值问题的三个正解的存在性

张 英

（山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009）

p-laplace 算子形式是其中p＞1。

研究时间模T上的一维p-Laplacian 两-点边值问题[]1

设p＞1，q＞1，且满足。另 外，设(H)f∈Crd([0,1] ×[ 0,∞),[ 0,∞)),a∈Crd([0,1] ×[ 0,∞)),B0,B1∈Crd(R,R)不增,

B1(-u)=-B1(u),B0(-u)=-B0(u),

使0 ≤uBi(u)≤mu2,(i=0,1),

解方程得

由边值条件1得

由边值条件2得

记

E=Crd([0,1]T)为一个Banach 空间，其范数定义为，定义一个锥P⊂E,且P={u∈E：u(t)≥0,是凹函数,}

定义线性算子α：P→R+,算子A：P→P

AP⊂P,则A全连续积分算子，边值问题(1)有解u=u(t)当且仅当u是算子A在P中的不动点。

定理1设P是实巴拿赫空间E的一个锥,集合Pr={x∈P：‖x‖＜r},P(Ψ,a,b)={x∈P：a≤Ψ(x),‖x‖≤b}[2]。

假设Φ：是P上的一个全连续算子且是非负连续的凸函数,满足Ψ(u)≤‖u‖,对于所有的。如果存在常数0 ＜p＜q＜l≤r满足下列条件：

(1){u∈P(Ψ,q,l)：Ψ(u)＞q} ≠∅且Ψ(Φu)＞q对所有的u∈P(Ψ,q,l)；

（2）当‖u‖ ≤p时，有‖Φu‖ ≤p；

（3）当u∈P(Ψ,q,r)时，Ψ(Φu)＞q且‖Φu‖＞l，则Φ至少有三个不动点u1,u2和u3∈,满足‖u1‖＜p,Ψ(u2)＞q,p＜‖u3‖,当Ψ(u2)＞q。

定理2设条件 (H) 成立,且存在δ∈又设存在常数ρ1,ρ2,ρ3＞0,且满足ρ3＞＞ρ2＞ρ1＞0,使

(1)f(t,u)＜φp(ρ3)φp当t∈([δ,1],0 ≤u≤ρ3;

(2)f(t,u)＞φp(ρ2)φp当t∈[δ,1],ρ2≤u≤

(3)f(t,u)＜φp(ρ1)φp当t∈[δ,1],0 ≤u≤ρ1;

则边值问题（1) 至少有三个正解解u1,u2,u3,满足0 ＜u1(ξ)＜ρ1＜u2(ξ),u3(l)＜ρ2＜u2(l)[3]。

证明定义全连续非负凹函数

Ψ：P→[ 0,∞),满足∀u∈P

有Ψ(u)=

则有Ψ(u)≤‖u‖,则‖u‖≤ρ3,由条件(c1)得

因此，定义A：ρ3→ρ3,因为

从而定理1得条件1成立。

设‖u‖ ≤ρ1,由条件由条件(c3)，

得到

从而定理1得条件2成立。

从而定理1得条件3成立。

因此由定理1得所有条件都满足，则边值问题（1) 至少有三个正解解u1,u2,u3,满 足0 ＜u1(ξ)＜ρ1＜u2(ξ),u3(l)＜ρ2＜u2(l)。