三角函数的图像与性质经典问题聚焦

李汉军

【摘要】近几年来的高考数学对三角函数的变换考查要求逐年减低，然而对学生对三角函数的图像与性质方面的掌握与运用却加强了考查要求.函数作为高中数学的一个重要组成部分，是学生学习高等数学的基础，也是学生能够解决生活实际问题的工具，因此，三角函数也就成为了高中数学学习的一个重要组成部分.本文旨在通过聚焦三角函数的图像与性质的经典问题，探讨实现对三角函数相关问题的高效解题策略.

【关键词】三角函数;高中数学;图像与性质

一、聚焦三角函数的图像与性质经典问题

在高中数学的学习过程中，数学大纲对三角函数的考查要求旨在让学生充分运用数形结合的数学思想，一方面，利用函数的性质去实现对函数图像的准确绘制，另一方面，则是根据函数的图像来实现对函数图形的准确把握，从而熟练掌握数形结合的数学思想，实现数学水平的不断提升，而在高考的考查中，三角函数的相关题型主要为选择题、填空题和解答题.

（一）求三角函数的单调区间

在三角函数图像与性质问题聚焦的过程中，最经典的应为对三角函数的单调性以及单调区间的相关求解，大多以选择题的形式出现，最基础的即是给出一個相应的三角函数求出其单调区间，如对函数y=cos〖JB（（〗π 4-2x的单调区间的求解，或是进行相关形式变化，让学生先进行相关的基础变形之后，再得出相应的单调区间求解.

（二）求三角函数的周期

对三角函数的周期的考查大多出现于选择题和填空题中，难度适中，较为简单的形式则是给出相关三角函数式让学生进行相关的求解，如y=cosπ 4-2x的周期求解，或是加大难度即对如y=cosπ 3-2x-sinπ 6-2x的最小正周期的求解.

二、实现对三角函数经典问题的高效解题策略

（一）夯实基础，掌握基础变换公式

在进行高中数学学习的过程中，要想实现对三角函数的高效快速掌握，除了要掌握一定的解题思路与方法之外，最重要的一点则是要对三角函数的基础变换公式的掌握.

（二）高效求解三角函数的单调区间

在进行对简单三角函数单调区间求解的过程中，可将解题步骤分为三步，第一步是对三角函数的函数式进行相关变换，将函数式转化为基本三角函数的标准式，在转化的过程中应该注意的是对三角函数的准确把握，是sin还是cos，是cos还是tan，每个不同的三角符号都有不同的对应的单调区间公式，同时也有不同的转化公式，切忌眼高手低，心急手快，导致转化错误，同时在进行转化的过程中还要注意相关参数的正负变化，如A，ω等.第二步则是利用三角函数的相关辅助角公式将其转化为同名函数，并使其存在统一单调区间内，而第三步则是利用三角函数的相关图像与性质来最终确定其单调区间.

例如，求函数y=cosπ 4-2x的单调递增区间，即可根据相关公式，π 4-2x∈[-π+2kπ，2kπ]，从而进行相关不等式转化进而得出其单调递增区间，即x∈-3 8π+kπ，1 8π+kπ.

（三）高效求解三角函数的图像及其函数式

在进行对一般三角函数的图像与函数式求解的过程中，第一步便是准确观察所给函数图像，所观察的内容为周期，振幅，对称轴，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，图像的走势与形状等，从而初步得出相关结论;第二步则是利用观察所得出的特殊点来进行函数式代入，从而计算出相关参数值如A，ω，φ等，第三步则是根据图像的走势、升降情况来进行相关第一个零点位置的确定，从而进一步的确定相关参数，最后得出结论，获得三角函数的解析式.

（四）高效求解三角函数的周期

在进行对一般三角函数的周期的求解过程中，可以将其理解为对最小正周期的求解，从结果上来说则是利用 T=2π ω的周期计算公式来进行相关求解，而对题目中的ω如何得知则是需要将原三角函数进行一定的恒等变换，从而将其转化为标准式，最终得出相关的周期结果.

如在进行y=cosπ 4-2x的最小周期求解的过程中，可以通过T=2π ω即T=8π得出相关周期数，而对y=cosπ3-2x-sinπ 6-2x，则需要通过一定的正余弦函数公式来进行相关的形式变化，从而得出相关结论，即周期T=π.

三、结 语

在聚焦三角函数的图像与性质经典问题的过程中，我们不难看出其经典问题主要是对三角函数的单调区间，图像及其函数式，周期等的求解，而从总体上来看即是对三角函数相关性质的求解，在此基础上进行一定的变形实现难度上的增加.因此，在解题的过程中，要注重对自身基础知识的夯实，熟练掌握相关三角函数变化公式以及函数图形的准确把握，实现对三角函数公式的灵活运用.

【参考文献】

[1]张茜.高中数学中的数形结合思想研究[D].哈尔滨：哈尔滨师范大学，2019.

[2]李倩.基于“两个过程”思考下的教材内容的整合——以“三角函数图像与性质1”为例[J].中学数学月刊，2019（2）：35-37.