一类含参导数问题的解决策略探究

薛彦旭

【摘要】近几年高考导数与函数试题中出现了幂函数和指数函数或幂函数和对数函数的复合函数题型，是高考试题中的难点、热点、更是亮点.通常以压轴题呈现，尤其第二问是拉开学生层次的题型，此类问题通常涉及恒成立和能成立问题，考查函数性质与导数处理最值等综合应用能力，求解中重视参数变量分离和分类讨论两种思维，合理变形转化是解决问题的入口，几乎每位考生對此类问题却很困惑，也无解题策略，为了解决这类问题，本文将给出一种解决方案，供各位读者参考和借鉴.

【关键词】参变分离;分类讨论;合理变形转化

定理 洛必达法则

函数f（x）及g（x）在区间[a，b]内有定义，limx→af（x）=0，limx→ag（x）=0，存在有限导数f′（a）及g′（a），且g′（a）≠0，则limx→af（x） g（x）=f′（a） g′（a）.

例1 设函数f（x）=ex-1-x-ax2，a∈R .

（1）若a=0，求f（x）的单调区间;

（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.

分析 （1）略.

高考试题中引出的一类含参导数问题中通常以函数为载体，以导数为工具，以考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.运用导数确定含参函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围.解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过分离参数、分类讨论等思维方法进行求解.而求解策略的恰当选择，取决于求解视角是否准确.另外，当参变分离有困难时，我们通过对函数的参数分类讨论，达到求函数最值也能解决此类问题.