基于数学核心素养视角下的立体几何解法赏析

唐敏 严忠权

【摘要】2019年全国高考Ⅲ卷文科数学第19题通过对图形的翻折问题，考查四点共面、面面垂直的判定、求平行四边形面积，着重考查了立体几何中的点，线面位置关系的判断及证明，突出对学生分析问题、解决问题、空间想象能力的考查，此题推理论证及求解过程中体现出数学核心素养的直观想象、逻辑推理、数学运算[1].

【关键词】高考数学;核心素养;立体几何;解法探究

一、试题呈现

图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2所示.

（1）证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE;

（2）求图2中的四边形ACGD的面积.

二、解法赏析

（1）① 由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，

故AD，CG确定一个平面，从而四点A，C，G，D共面.

② 方法一：由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，

故AB⊥平面BCGE.

又因为AB平面ABC，

所以平面ABC⊥平面BCGE.

方法二：取BC的中点H，连接AE，AH，EH.

由已知得，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°，

三、教学建议

（一）回归教材，夯实基础

高考试题“源于教材”，既要体现考试的公平、公正，又“高于教材”，对中学数学教学做出有效检验，因此，要回归教材、挖掘教材、吃透教材.点、线、面判定与证明，是立体几何的基础，要认真学习几大公理及几条推论，对教材上的性质定理、判定定理的推导和证明熟记于心，很多高考题，源于教材例题与练习题的改编，平时复习要吃透教材，夯实基础.

（二）培养学生推理论证及直观想象能力

在讲授立体几何的过程中，让学生自己动手制作一些简单的几何模型可以帮助想象.观察几何模型中的点、线、面之间的位置关系，螺旋上升式地培养学生对立体图形的直观想象能力和辨别能力.开始学习必修2时要重点培养学生的作图能力.可以从最基础、最简单、最熟悉的正方体、长方体、三棱柱、三棱锥、球、圆柱、圆锥等开始画，逐步过渡到组合图形的画法.但是在作图过程中要树立起立体观念，通过作图训练使学生通过三视图，经过观察、推理、论证，能快速、准确无误地还原出立体图形.立体几何的直观想象并不是想当然的想，而是以题设的条件为依据，题目的求解为目的.此题就是利用图1平面图形经过翻折以后形成图2的立体图形，在翻折的过程中培养的学生的推理论证及直观想象能力.

（三）规范书写，加强运算

1.还要注重规范书写.很多学生的高考大题的作答十分不规范，字迹潦草，很多考生对作辅助线、证明、求解三个环节交代不清，表达不够规范、严谨，前因后果不连续，该用属于用包含，该用包含用属于，元素关系理解不清，符号语言不会运用等.这就要求学生在平时训练时养成良好的答题习惯，达到前有因后又果，书写时字迹工整，以教材上例题的答题要求、方法、步骤、推理过程作为蓝本.由于数学学科的特殊性，所以答题的规范性在每一次考试中都很重要，在立体几何大题中尤为重要，因为它更注重逻辑推理、直观想象.在按步骤给分的前提下，平时的每一道题的训练都要培养这种规范性答题，有利于提高得分.

2.加强运算.很多文科学生的计算能力不够强，本来过程全对，就是因为最后的计算出错而被扣分，此题很多学生都会运用余弦定理求解，公式运用正确，最后的结果错误，导致计算平行四边形的面积错误，有的学生前面都对，最后计算平行四边形的面积算错，实属不该.所以，在平时的每次训练中应加强学生数学运算的培养，提升计算准确度和计算速度.

（四）重视解题方法的总结与指导

高考立体几何所占的分值比较大，所以在平时的训练中应重视解题思路与方法的总结与指导.熟记重要的推理、证明以及重要结论有利于快速解决填空题或选择题，文科数学考试说明对建立空间直角坐标系不做要求，所以首先推荐的是定义法、几何法求解.

（五）着重培养学生数学核心素养

在必修2的教学过程中，由平面图到立体图是一个抽象的数学过程，立体几何的初步，空间几何体的表面积、体积，点、线、面之間的位置关系的推理、证明过程中体现出直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养.所以，教师在立体几何的教学过程中应加强核心素养的渗透.此题属于翻折类问题，通过不同的解法有利于提高学生分析问题、解决问题的能力，潜移默化地培养了学生的核心素养.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.