中考数学评价发展趋势分析

【摘要】本文结合近几年全国各地中考数学典型考法，预测中考评价发展从四基、四能走向数学核心素养的基本变化方式.未来中考将通过用数学知识解释现实世界中的现象、从问题情境中抽象出数量关系和规律、以形释数及图形变换四种方式考查学生能否用数学的眼光观察世界.通过从特殊到一般的问题解决、解释算理—理解算理—运用算理两种形式考查学生能否用数学思维思考世界.通过数学建模、数据分析两个路径考查学生能否用数学语言表达世界.

【关键词】中考评价;核心素养;数学眼光;数学思维;数学语言

自《义务教育数学课程标准（2011年版）》实施以来，以“四基（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）”“四能（发现问题、提出问题、分析问题、解决问题）”为主的课程目标，为全国各地初中数学学业考试（以下简称中考）指明了方向，各地中考命题依据教情、学情的不同，逐步形成了具有鲜明地域特色的命题模式.随着《普通高中数学课程标准（2017年版）》的颁布实施，以“数学核心素养”为根本的课程目标，必然促进中考数学评价的变革.数学核心素养体现在学生的认知和行为上可以用“三会”来表达：会用数学的眼光观察现实世界;会用数学的思维思考现实世界;会用数学的语言表达现实世界.可以预测，中考数学如何有效考查学生的核心素养将是中考评价发展的主要方向.本文力图结合对近几年各地中考试题的分析与研究，对此走向加以简单梳理与预测.

一、考查数学的眼光

数学的研究对象是从现实世界中的数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出来的，因此学生的数学眼光主要体现在学生的数学抽象和直观想象两方面.

（一）通过用数学知识解释现实世界中的现象，考查学生的数学眼光

用数学的眼光观察世界是学生数学核心素养的起点，因此通过运用数学知识和原理解释与学生生活和社会生产相关的现实世界的各种问题，就是考查学生数学眼光的重要方法.

例1 题目1：曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光.如图1所示，A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）.

A.两点之间，线段最短

B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.垂线段最短

D.两点确定一条直线

【2019年吉林省中考试题】

题目2：“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的.借助如图2所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ）.

A.60°

B.65°

C.75°

D.80°

【2019年浙江省衢州市中考试题】

两道题目都关注学生能否用数学原理解释生活、生产中现象的考查，引导学生用数学的眼光看世界.题目1以中国古代经典建筑园林曲桥为背景，学生需要将曲桥和直桥抽象为线段长短的比较，从而运用数学原理解释生活中建筑设计的奥秘;题目2从“三等分角”这个数学史中著名的问题入手，以“三等分角仪”为载体，学生需要将分角工具抽象为三角形，借助等边对等角以及外角定理发现角的倍分关系，侧面揭示了“三等分角仪”的设计原理.这种考查方式注重学生经历将实际问题抽象为数学问题的思考，回避了单纯进行计算的考查，重在知识运用，这种考查有利于改变忽视知识产生、发展的过程，只注重题海训练的应试教育方式，有利于日常教学引领学生用数学的眼光观察世界，体现用数学原理解释，渗透应用意识.两道题目也分别借助中国古典建筑和希腊数学的经典问题的设置，体现了对数学文化的关注.展望今后的中考命题，相信这种考查方式必將会得到更多的重视.

题目2以“三等分角仪”为载体，通过具体数值渗透了“三等分角仪”的设计原理.在此基础上，我们也可以将此题改造为直接考查的方式.例如：

题目3：“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的.借助如图3所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，PC=CO=OA，点O，A可在槽中滑动.

（1）将图3所示“三等分角仪”抽象成数学图形，如图4所示.请你解释∠P=13∠AOB;

（2）如果需要制作“五等分角仪”，你能设计吗？请在图4中画出草图，并加以简要说明.

（二）通过从问题情境中抽象出数量关系和规律，考查学生的数学眼光

创设恰当的问题情境，注重学生能否合理解决问题，是各地考查学生数学眼光的主要考查方式.

例2 题目1：利用如图5所示的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图6是某名学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图6所示第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ）.

【2018年浙江省绍兴市中考试题】

题目2：某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）.现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图8所示）.若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（ ）.

A.16张B.18张C.20张D.21张

【2018年浙江省绍兴市中考试题】

两道题目都关注学生能否从实际情境中抽象出数量关系和排列规律的考查.题目1以生活中常见的二维码为素材，将图案与二进制数字相对应，进而转化为十进制数字.通过这种数与形、量与量的关系的转换考查学生的数学素养;题目2以绘画作品布展的校园生活为背景，学生需要将作品抽象成矩形、图钉抽象成点，进而学生发现图形变化规律.难点在于根据不同的摆放方式，分类讨论完成问题解答.两道题目都来自2018年绍兴市中考试卷，体现了命题组对引导学生用数学的眼光看世界的重视.

（三）通过以形释数，考查学生的数学眼光

借助形状和想象感知事物的形态和变化是人的本能，利用几何图形的直观性理解和解决数学问题是考查学生数学眼光的重要方式.

例3 题目1：探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是.

【2019年湖南省怀化市中考试题】

题目2：你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x-14=0即x（x+5）=14为例加以说明.数学家赵爽（公元3—4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如图10所示）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x=2.那么在图11的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2-4x-12=0的正确构图是.（只填序号）

【2019年宁夏回族自治区中考试题】

两道题目都是考查学生能否借助图形分析问题和解决问题.题目1将分数和表示分数的图形相结合，学生需要将复杂图形分割为基本图形，同时将图形的面积转化为数的计算.题目2借助赵爽构造正方形，利用面积关系解一元二次方程的方法，考查学生能否发现构造图形的关键在于找到小矩形的长（即所求x）与宽（即x-4）之和等于大正方形的边长（即x+x-4）.有了这种以形释数的眼光，学生就能正确地借助正方形网格构造符合题意的正方形，从而解决一元二次方程正整数解的问题.此题彰显了中国古代数学的辉煌成就，体现出对数学文化的渗透.这两道题目呈现方式比较新颖，对学生的数学阅读能力有着较高的要求，特别是题目2还原了古代数学家赵爽思考问题、解决问题的方式，引领学生体会像数学家一样思考，有利于提高学生的数学素养.

（四）通过图形变换，考查学生的数学眼光

空间观念的形成是学生数学素养的重要组成部分，利用平移、轴对称、旋转等图形变换方式认知几何图形的性质与关系，是化静态为动态的认知方式的转变，是提升学生空间想象力的关键因素.

例4 题目1：如图12所示，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：.

【2017年北京市中考试题】

题目2：（1）如图13所示，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD，DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.

① 线段DB和DG的数量关系是;

② 写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.

（2）当四边形ABCD为菱形时，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD，DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.

① 如图14所示，点E在线段AB上时，请探究线段BE，BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明;

② 如图15所示，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度.

【2019年四川省自贡市中考试题】

两道题目都考查学生利用图形变换研究图形的位置关系和数量关系.题目1借助坐标系网格呈现，学生易于叙述，答案开放，有利于学生充分展示自己的学习成果，考查效度较高;题目2以旋转为变换主线，结合等腰三角形、特殊平行四边形的性质，深刻考查学生的空间观念.学生只有通过旋转变换的视角，变静态图形为动态图形，才能比较容易发现△FDG≌△BDE这个解题的关键.这种视角体现了对学生的空间观念的深入考查，体现了对学生的核心素养的考查，具有较好的效度和区分度.

学生能否用数学的眼光观察世界，取决于学生是否具有较好的数感、符号意识、几何直观和空间观念，因此今后的中考评价更应当注重通过设置合理的问题情境，引导学生观察、归纳，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且能够用数学符号和数学术语予以表征.

二、考查数学的思维

数学的发展离不开逻辑推理和数学运算，考查数学的思维方式也主要集中在推理与运算能力两方面.

（一）通過从特殊到一般的问题解决，考查学生的数学思维

推理是数学的基本思想之一，推理能力包括合情推理和演绎推理，合情推理用于发现结论，演绎推理用于证明结论.设置从特殊到一般的问题，成为目前考查学生推理能力的主流方式之一.

【2019年吉林省中考试题】

两道题目都以等腰三角形为载体，从特殊到一般设置探究和证明问题，全面考查学生的推理能力.题目1将等腰三角形底角度数从45°，30°推广到一般角，探究满足相同关系的特定位置的线段关系;题目2从研究等腰三角形的一般套路出发，先将顶角特殊化，求特殊等腰三角形的腰和底边长的关系，再将研究推广到一般三角形.两道题目体现对数学学习“问题情境—性质探究—理解运用—类比拓展”全过程的考查.两道题目的亮点都在于最后一问的设置，体现了数学从特殊到一般的思维方式.这种考查方法带给学习者更深层次的启发：数学学习的重要目的是学会如何寻找解决问题的方法，学会正确的思维方式.

（二）通过解释算理—理解算理—运用算理，考查学生的数学思维

运算具有规则性和一般性，这种特征正好与数学思考的方式相吻合.因此，通过对数学运算算理和运算法则的一般性的理解考查，就能实现对数学思维水平比较准确地刻画.

【2019年山东省枣庄市中考试题】

两道题目都是对二元一次方程组解法的考查，但考查目的和方式略有不同.题目1注重加减和代入消元法的考查，注重考查解题过程，关注学生对等式变形技能的掌握，体现对基本算理的考查;题目2通过规定新运算的方式，考查学生对运算法则的理解，结合数的计算和解方程组体现法则的一般意义.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，解释算理—理解算理—运用算理的问题串的设置，将是今后中考命题考查学生的数学思维的重要方式之一.

三、考查数学语言

数学的应用具有广泛性，体现在用数学语言可以表达现实世界中的各种问题.常见的数学语言包括数学建模和数据分析两方面.

（一）通过数学建模，考查学生的数学语言

数学建模是对现实问题进行数学化，用数学方法构建模型解决问题的素养.对数学建模的考查历来是各地中考命题的重点.

例6 题目1：如图21所示，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图像大致为（ ）.

【2010年江苏省南京市中考试题】

题目2：看图说故事.

请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x，y满足图23的函数关系，要求：

（1）指出变量x和y的含义;

（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量.

【2012年江苏省南京市中考试题】

题目3：小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16 min回到家中.设小明出发第t（min）时的速度为v（m/min），离家的距离为s（m），v与t之间的函数关系如图24所示（图中的空心圈表示不包含这一点）.

（1）小明出发第2 min时离家的距离为m;

（2）当2

（3）画出s与t之间的函数图像.

【2018年江苏省南京市中考试题】

三道题目都关注一次函数模型的考查，但却体现了不同阶段的不同考法.题目1以生活中路灯下影长为背景，利用函数图像揭示影长与行走距离之间的一次函数关系;题目2以函数图像为基本载体，激发学生思考构造满足特定关系的函数实例，比较深刻地刻画了学生对一次函数模型的理解;题目3虽然以图像刻画实际问题的传统模式呈现，但纵坐标以速度呈现又有新意，考生需要从速度与时间的关系中，梳理出路程与时間的一次函数关系，综合考查了行程问题中路程、速度、时间三要素的关系.回顾南京市这三年中考试题，从利用图像刻画现实世界，到根据图像构造实际问题，最后借助图像信息，综合分析多个变量之间的变化规律.用函数刻画事物的变化规律的几种不同考法，反映出不同阶段对建模思想的不同认识与理解.

例7 题目1：祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线形斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果见下表.

说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内∠A的度数∠B的度数AB的长度38°28°234米……

（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）;

（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.

【2018年山西省中考数学试题】

题目2：某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据见下表（不完整）.

图28说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5 m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上测量数据

【2019年陕西省中考数学试题】

两道题目都借助实物高度的测量关注对学生建立测量模型的考查.两道题目都采用两次测角法求高度，都以测量报告形式呈现，都关注了对数学活动经验的考查，但呈现方式略有不同.题目1以当地地标建筑物的高度为载体，最后一问以开放性问题呈现.学生只有在日常教学过程中进行过实地测量才能言之有物，例如需要补充的项目可为：测量工具、计算过程、减少误差的办法、人员分工、指导教师、活动感受等（答案不唯一）.题目2以学校旗杆为载体，重点关注了多次测量取平均值减少误差，更为接近实际测量.最后一问以影长测量方案被否定的理由为考查点，关注学生是否在日常学习中积累了操作经验.

回顾以往，为便于学生理解和接受，我们往往将复杂的实际问题直接简化为理想的、简单化的“实际问题”.这种处理实际问题方式从接受的角度具有一定的优势，但是从真正理解模型思想的角度来说是具有比较明显的不足的.展望今后的中考，设置现实生活中的真实问题背景，需要学生分辨无用和有用信息，将具有内在联系的量抽象出来，从而建立适合的数学模型刻画现实世界的变化规律，是考查学生利用数学语言表达现实世界的重要方式之一.

（二）通过数据分析，考查学生的数学语言

数据分析是大数据时代数学应用的重要方法，也是“互联网+”相关领域的主要数学方法，数据分析观念是学生重要的基本数学素养.

例8 题目1：某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.

得出结论：a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为;b.可以推断出部门员工的生产技能水平较高，理由为.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

【2017年北京市中考数学试题】

题目2：某年级共有300名学生.为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

（1）写出表中m的值;

（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A”或“B”），理由是;

（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数.

【2018年北京市中考数学试题】

题目3：国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：

a.国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x<40，40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）;

根据以上信息，回答下列问题.

（1）中国的国家创新指数得分排名世界第;

（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“○”圈出代表中国的点;

（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元;（结果保留一位小数）

（4）下列推断合理的是.

① 相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高國家综合创新能力;

② 相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值.

【2019年北京市中考数学试题】

三道题目都借助实际问题实现了对统计全过程的考查，体现了对学生数据分析观念的关注.题目1、题目2问题背景贴近生活，从数据的收集与表示、数据的整理和数据分析，到利用数据做决策，考查了统计的全过程.两道题目都关注平均数、中位数及众数三个统计特征量的计算和实际意义的考查，重点体现对于同样的数据可以有多种分析方法，同时体现出对于同样的数据，从不同的角度分析，可以得到不同的结论，考查了数据分析数学素养.题目3的背景选自《国家创新指数报告（2018）》，学生需要读懂统计图表才能进行信息再加工，才能获得有用的信息.题目3的另一个考查重点是关注学生利用数据进行分析和预测的能力.通过日常阅读统计资料获取信息，进行正确的判断和推测正是学习统计的目的之一.

大数据时代，面对海量数据如何进行甄别和使用是当代重大课题，如何在中考评价中尽可能多地引入真实数据和真实情境，是今后中考命题考查学生利用数学语言描述现实世界的重要课题之一.

核心素养形成于数学具体内容，又高于数学具体内容.如何通过具体的数学试题有效考查学生的核心素养是教学评价的一个难点，也是制约日常教学改革的瓶颈之一.相信随着各地中考命题专家的不断探索，随着教育改革的不断发展，对核心素养的评价方式会越来越多样，会越来越完善.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[3]史宁中.数学思想概论：数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008.

[4]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2015.

[5]朱航，孟祥静.全国数学中考考法分析评价报告[M].长春：东北师范大学出版社，2013.

[6]孟祥静，朱航.全国数学中考考法分析评价报告（2018版）[M].长春：东北师范大学出版社，2018.

[7]朱航.做有思想的教师，教有思想的数学——初中数学核心素养的教学与评价[M].长春：东北师范大学出版社，2020.

[8]Kaye Stacey.数学素养的测评[M].北京：教育科学出版社，2017.