定积分计算方法的归纳和分析

石素玮

【摘要】定积分的计算方法在积分学中具有重要的地位，其计算方法和技巧也非常丰富，切实掌握求积分的方法很有必要.本文系统地归纳和分析了定积分的计算方法，有助于提高学生定积分的计算能力.

【关键词】定积分;被积函数;积分区间;计算方法

【基金项目】福建省自然科学基金计划项目（2018J01101）;厦门大学嘉庚学院横向科研项目（JGH2017022）;漳州市科技计划项目（2018G0201）.

定积分是微积分三大基本运算之一，也是计算重积分、曲线积分和曲面积分的基础.本文对定积分的常规计算方法——定义法、Newton-Leibniz公式法、换元积分法、分部积分法等，进行歸纳并分析各种方法的用途和注意事项，方便学生在计算定积分时进行方法的选择，从而提高计算效率，开拓解题思路，提高计算定积分的能力.

下面我们主要讲解定积分在计算过程中通常所使用的方法.

一、利用定义计算定积分

按定积分的定义，不一定要将区间n等分，只要最长的小区间长度趋于零即可.

由例1可知，通过求积分和的极限来计算定积分一般来说是比较困难的.

二、利用几何意义计算定积分

定积分的几何意义：设函数f（x）定义在区间[a，b]上，若f（x）≥0，则∫baf（x）dx表示由连续曲线y=f（x）与直线x=a，x=b，x轴所围成的曲边梯形的面积S;若f（x）≤0，则∫baf（x）dx等于该曲边梯形的面积的相反数∫baf（x）dx=-S.

三、利用Newton-Leibniz公式计算定积分

该方法的关键是容易找到被积函数的原函数，这样就可以直接计算，如果被积函数的原函数不容易找到，则可借鉴以下计算方法.

四、利用换元积分法和分部积分法计算定积分

（一）凑微分

（二）被积函数含有无理因子时

（三）三角代换

（四）分部积分法

五、利用倒代换计算定积分

当被积函数分母所含多项式的次数明显高于分子所含多项式的次数时，可采用倒代换，即令x=1t.

综上所述，定积分的计算有很强的灵活性，形式多样，对于具体的函数的积分，我们只能通过具体问题具体分析，再通过尝试求出定积分的值.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]肖筱南，曹镇潮，宣飞红，等.微积分[M].北京：北京大学出版社，2009.