π的数学之美

【摘 要】本文阐述了π的精妙发现，并利用泰勒展开式给出了π的无理性证明，旨在借助数学之美激发学生探索数学的兴趣。

【关键词】泰勒展开式;圆周率;无理数

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）04-0017-02

1   π的发现

数学中把圆的周长与直径的比值定义为圆周率，并用希腊字母π表示。早在公元前200年，阿基米德就用迭代算法与大、小两个方向上数值逼近的方法，理论上得到了圆的周长，给出了π的求法，称得上是“计算数学”的鼻祖。公元263年，我國数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这提供了求圆周率π的科学方法。

但是，以上都是用近似逼近的方法求得π的数值，纵观数学的历史长河，会发现一个有趣的故事——布丰投针问题。法国数学家布丰有一天邀请许多亲朋好友到家做客，他先取一张白纸，在上面画上许多条距离为的平行线铺在桌上，然后请客人把一根长度为的针随机地扔向白纸，布丰在旁边记录了2212次，发现共有704次针与平行线有交点，而且，他还断言，扔的次数越多，相交数与投掷数之比越接近π。这个实验让人惊讶，看起来毫不相关的圆周率在投针试验中竟然有所体现[1-3]。其实，这里运用到了几何概率的知识，这是用偶然性方法来做定性计算的典型范例，充分体现了数学的美丽与奇特。就像美国数学家维纳所说：“数学实质上是艺术的一种。”

2   预备知识

2.1  无理数和反证法

无理数是指不能写作两整数之比的数。大多用反证法，即假设它可以表示成分数，但是推出矛盾，从而证明假设不成立。

2.2  连分数

步骤3：由于，1不是无理数，所以不能写为分数形式，即不是有理数，故π是无理数。

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上）（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（下）（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]陈景润.初等数论.1[M].北京：科学出版社，1978.

【作者简介】

耿柳（1993～），女，汉，江苏徐州人，硕士，助教，研究方向：数学与应用数学。