图形：培养直观想象素养的关键要素

孙红强

摘要：直观想象的关键是发现、获得图形与分析、解读图形，充分发挥图形的价值。在数学教学中，培养学生的直观想象素养，可以从以下几个方面入手：从实物中抽象出图形并使用，根据文字（符号）描述画出图形并使用，在已有图形的基础上分析、解读。

关键词：直观想象;图形;画图;读图

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。”

作为数学的重要分支，几何是研究空间形式的科学，而空间最主要的表现就是图形。作为表征的重要形式，图形是直观的载体、想象的源头。可见，直观想象的关键就是发现、获得图形与分析、解读图形，充分发挥图形的价值。因此，在数学教学中，培养学生的直观想象素养，需要引导学生利用图形，将事物反映出的数量关系直观化并进行适当的想象加工，为进一步建构数学知识、解决数学问题做好储备。具体地，可从以下几个方面入手：

一、从实物中抽象出图形并使用

作为一种直观模型，几何图形最初是从现实世界、实际生活中抽象出来的，其中还蕴含着丰富的数量关系。培养学生的直观想象素养，首先要多创设来自现实世界、实际生活的实物情境，引导学生从中提炼获得几何图形——尤其是将三维实物抽象为二维图形。

例如，教师可以通过摆放密闭、透明的圆柱桶，让学生从不同的角度观察桶内水面的形状，抽象出椭圆的概念;可以出示向日葵的实物或图片（如下页图1），引导学生抽象出螺线的概念。

再如，教师可以分别出示多肉植物和七叶胆的实物或图片（分别如图2、图3），引导学生抽象出数学图形（分别如图4、图5），来表示其无关形状、大小的生长过程，进而研究其生长的规律，得到等差数列的概念。

二、根据文字（符号）描述画出图形并使用

动作（包括实物）、图像（包括图形）以及符号（包括文字）是认知表征的三种基本方式。培养学生的直观想象素养，还要指导和训练学生依据文字（符号）描述画出图形。尤其是，数学学科中的“数”与“形”之间存在非常丰富的联系，在很多情况下可以相互转化;许多代数问题都有其几何意义，许多数量关系都能用图形表示。因此，还要指导和训练学生化数为形，具备相应的方法和意识。当然，画图意识和能力的培养不是一蹴而就的。教师要在长期的教学中贯穿“能画图时尽量画图”的导向，并经常设置适当的问题（任务），倒逼学生画图、用图。这里，除了培养学生基本的画图技巧（如画基本几何图形、常见函数图像等，以及画精确图、示意图、部分图、动态图等），还要特别注意破除语言和图形一一对应的思维定式以及数和形不能联系的思维障碍。

一方面，教师要设置具有不确定性、不唯一性的画图语境，让学生画出多种可能的图形。

例如，教学“垂径定理的推论”时，教师可以用文字或符号语言表述“平分弦的直径”的条件，要求学生画出图形，得到有关结论。学生很容易画出如图6所示的图形，得到“垂直于弦并且平分弦所对的两条弧”的结论。这时，教师可以提问：“还有别的画法吗？结论一定正确吗？”以此促使学生深入思考。然后，教师可以引导学生将图6中的弦AB向上平移，直到成为直径，再绕圆心O旋转一定的角度，得到图7。学生就会发现之前的结论不正确了。这时，教师可以追问：“要使结论成立，应该如何限制条件？”学生就能得到垂径定理的推论了。

再如，教学“矩形的判定”时，教师可以让学生按照下面的叙述画出图形：（1） 画线段AB=10 cm;（2） 过点B作BM⊥AB，并在BM上截取BC=6 cm;（3） 过点C作CN⊥BC，并在CN上截取CD=10 cm;（4） 连接DA。然后，让学生解决问题：（1） 画出的四边形ABCD是矩形吗？若是，请给予证明;若不是，请说明理由;（2） 依据画出的图形，求AD的长度。

另一方面，对一些看上去比较纯粹的代数问题（非函数和解析几何问题），教师要引导学生见“数”想“形”，转化得到几何图形。

转化的方式之一是利用解析几何思想，把数变成坐标系中的点。例如，对于问题“n为正实数，求证：1n+1n+2>2n+1”，学生往往能够通过作差、通分与多项式化简解决。这时，教师可以引导学生进一步思考：左边两个分式的分子都是1，右边的分式也可转化为分子是1的形式，即2n+1=1n+1+1n+1，那么1n、1n+1、1n+2可以看作哪个分式取某些值得到的呢？学生可能会联想到1x。教师可以继续引导：由1x，你能想到哪一种函数关系呢？自然就得到反比例函数y=1x：当x=n、n+1、n+2（n为正实数）时，y=1n、1n+1、1n+2。于是，就可以在坐标系中画出函数y=1x（x>0）的图像（如图8）。此时，教师便可以引导学生借助梯形中位线的性质，得到AB+CD=2FE>2EG，所以1n+1n+2>2n+1。

转化的方式之二是把一些算式中的数看成图形的度量（长度、面积、体积等）。这对于一些乘法公式、因式分解以及等式或不等式结论的学习非常有帮助。比如，由二次函数y=x（a-x）（a为参数，且a>0）的最值和“双勾函数”y=x+ax（a为参数，且a>0）的最值或基本不等式，可以得到矩形的等周猜想（周长一定的矩形中，正方形的面積最大）和等积猜想（面积一定的矩形中，正方形的周长最小）。而且，考虑到这是有一定关系制约的双变量问题（所以可以转化为单变量问题），这里还可以利用上一种转化方式，分别得到图9、图10，帮助获得猜想——这也是发展学生直观想象素养的良好素材。

三、在已有图形的基础上分析、解读

上面谈论的重点是在没有图的时候画图——当然，画图是为了用图。这里重点谈谈有了图之后怎么用图。用图必须分析和解读图形——尤其是信息比较多或不明显的图形。对以数形结合的方式得到的图形，分析和解读的重点在于挖掘几何表征的代数含义。这里，重点谈谈在几何问题中怎么分析、解读图形，怎么“看图说话”“用图探究”，怎么借助直观进行想象和操作，从而发现联系和区别，得到结论，解决问题。

一方面，面对信息比较多的复杂图形，教师要引导学生从不同角度抽取出基本图形，发现它们之间的聯系和区别，得出有用的结论。

例如，面对问题“如图11，矩形ABCD的边长为1和x，分别以B、C为圆心，1为半径的两段圆弧交于点M，若图中的两个阴影部分的面积相等，则x=”，学生在分析、解读图形时会遇到困难，得不到有用的信息。

教师可以引导学生发现，这一问题中的基本图形除了矩形，还有两个半径为1、圆心角为90°的扇形;除了两个面积相等的阴影部分，还有两个面积相等的“扇形剩余部分”。由此，学生不难发现，两个面积相等的阴影部分分别加上一个“扇形剩余部分”，得到的两个图形（如图12）面积依然相等，而这两个图形加在一起就是整个矩形。于是，学生便能够基于这一数量关系，利用扇形面积公式和矩形面积公式，得到方程2×1/4π×12=1×x，从而解决问题。

另一方面，面对信息不明显的简单图形，教师要引导学生让图形“动”起来，即进行各种变化，发现图形各要素之间的联系和区别，得到有用的结论。

例如，教学“三角形内角和定理”时，面对简单的三角形（如图13），教师先让学生在动手剪、拼中，感知其内角和等于180°（复习小学学过的知识）。学生剪、拼出了很多图形（如图14、图15、图16等）。在此基础上，教师引导学生抽象发现，将三角形的三个角移到一起是证明这一结论的关键，并且这样总会产生一组平行线;进而得到辅助线的作法，即过三角形的一个顶点作对边的平行线（如图17、图18、图19等），完成推理论证。

这时，教师引导学生思考：一定要过三角形的一个顶点作对边的平行线吗？过平面上任一点作三角形一条边的平行线可以吗？深入思考和积极讨论后，学生发现答案是肯定的（如图20、图21、图22等）。由此，教师引导学生归纳出方法技巧：一点“锁定”180°。

*本文系中国教育学会“十三五”教育科研规划课题“基于培养初中生数学核心素养的课堂教学实践研究”（编号：1701140021B）的阶段性研究成果。

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