高考真题中一类折叠问题的解法

陈庭旺

立体几何中的折叠问题是高考中的热点问题之一.解决折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，注意折前与折后各元素相对位置的变化，要理清折叠前后哪些量发生了变化、哪些量没有发生变化，同时还要特别注意动点的运动轨迹.本文用两个高考试题探究动点运动轨迹，从而轻松解决问题.

例1 如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK=t，则的取值范围是.

分析：折叠问题，要弄清楚点的变化趋势，本题D点在运动，它在运动中有什么特点呢？D点在底面上的射影实际上就是垂线DHK，D点就在垂线DK的正上方运动，因为平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，所以DK⊥面ABC，又DN⊥AF，KH⊥AF，同时∠DHK就是二面角D-AF-B的平面角，要求AK长度，实际就是图中DK⊥AF交AB于K，所以AF的改变导致AK的长度的变化.

解：此题的破解可采用两个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，t=1，随着F点到C点时，因DK⊥AC，由平面几何知识易知t=12，因此t的取值范围是12，1.

例2 如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD.

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

分析：本題的折叠，点C沿着DF折叠，其实质要明白点C在运动过程中的轨迹规律，过点C作CO⊥DF交DF于H，交EF于O，在折叠中点C就在CO的正上方运动，直到运动到P处这个特殊位置.

（1）弄清空间两组垂直即可.

（2）本题由（1）知平面PE⊥平面ABFD，所以点P在点O的正上方，容易想到点O作坐标原点即可，但是最关键的是P的坐标为多少？怎么确定呢，实际上在折叠过程中很容易知道∠PHO为二面角P-DF-A的平面角，所以有OP2+OH2=PH2，而在平面图形中很容易求出OH，CH的长度，所以点P的坐标就可以计算出来了.

解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

（2）作PO⊥EF，垂足为O，过O作OH⊥DF，垂足为H连接PH，，∵PO⊥EF，平面PEF⊥平面ABFD，∴PO⊥平面ABFD.以O为坐标原点，OF的方向为y轴正方向，OP的方向为Z轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，又由折叠前知CH=PH=25，OH=125，OP2+OH2=PH2，所以OP=32.则O（0，0，0），P（0，0，32），D（-1，-32，0），DP=（1，32，32），OP=（0，0，32）为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ=OP·DP|OP|·|DP|=343=34.

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.

高考中的折叠问题经久不衰，试题层出不穷，对学生的空间想象能力的考查更具有挑战性，要求学生不光能识别立体图形，还要能展开成平面图形，厘清各种数量关系，位置关系的变化，用动态的眼光识别立体图形.所以要求教师在平时教学中多让学生动手动脑，从实际生活中感知数学知识.