数学思想方法在解题中的应用

和汝军

摘  要：中小学数学思想方法的教学，体现了“由浅到深、由易到难、由少到多”等特点，从具体到抽象的质的飞跃，教师要有意识地培养学生用数学思想方法去分析问题、解决问题，并逐步形成数学能力，提高数学素养，使学生具有数学思想方法。数学思想方法和数学基础知识相比较，数学思想方法有较高的地位和层次，数学思想方法是数学思想和方法的统称，数学思想是指数学思维活动和数学研究活动中解决数学问题的基本想法和基本观点。

关键词：数学思想;数学方法;数学教学

现在几乎没有人会怀疑数学的意义和它的价值，数学是必须学习的重要基础学科。也许对走出校门的大部分人来说，很多具体的数学计算方法和具体的数学内容可能会忘得一干二净，但是数学思想和数学方法会对他一生的许多决策产生具大的影响，那些刻骨铭心的数学精髓将伴他终生。

一、数学思想方法的含意和内容

数学思想方法是数学思想和方法的统称，数学思想是指数学思维活动和数学研究活动中解决数学问题的基本想法和基本观点。小学数学教材中数学思想渗透了以下几种：分类思想、集合思想、对应思想、函数思想、符号化思想等等;中学数学常用的数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。数学方法是指学习和研究数学的手段和方式，包括数学理论的学习和研究的方法，发现数学的性质、运用规律的方法、数学理论运用于实际的方法。

二、数学思想方法的重要意义

思想是数学的灵魂，方法是数学的行为，无论是数学概念的建立、规律的发现，还是数学问题的解决，乃至于整个数学大厦的构建，都首先归功于数学思想方法。因此，在数学教学过程中，数学教师要不失时机地向学生渗透数学思想方法，“授人以鱼，不如授人以渔”，教师学习数学思想方法的重要意义就在于：

（1）教师学习数学思想方法，有助于了解和掌握数学科学的思想和理论方法;

（2）教师了解了数学思想方法的基本内容，可以按数学思想方法指示的方法去安排教材、有机地组织教学、就能有的放矢地调动学生思维活动的积极性，搞好数学教学活动;

（3）教师可以从整体上了解中小学所使用数学思想方法，从而深入地把握数学教学内容;

（4）教师学习并掌握了数学思想方法以后，就可以用科学的思想方法来指导实践、认识事物、认识世界、认识社会、解决数学问题。

三、数学思想方法的举例

（一）数形结合思想方法

数形结合是一个重要的数学思想方法，包含了“以形助数”和“以数辅形”两个方面的内容。其应用大致可以分为两种情形：（1）能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来;（2）会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。

（二）分类讨论思想方法

当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。分类讨论的思想方法实质是把问题“分而治之，各个击破”，其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准;（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”;（3）逐类讨论，按一定层次讨论，逐级进行;（4）综合概括，归纳得出正确结论。

（三）函数与方程的思想方法

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值的问题是通过解方程来实现的……不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y=f（x），就可以看作关于x、y的二元方程f（x）-y=0.可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

（四）等价转化思想方法

世界数学大师J·波利亚强调：“不断地变换你的问题”，“我們必须一再地变换它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止。”解题的过程实质上是转化的过程，因此转化是解决数学问题的重要的数学思想方法。等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种十分重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。在历年小、中、高考数学试卷中，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧.

（五）数学模型思想

所谓数学模型，是指用数学语言把实际问题概括地表述出来的一种数学结构。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一种反映。它可以是方程、函数或其他数学式子，也可以是一个几何基本图形，可以利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方法。

（六）统计思想

从局部观察资料的统计特征，推断整个系统的状态，或判断某一论断能以多大概率保证其正确性或算出错误判断的概率，由局部到整体，由特殊到一般。

四、结束语

总之，在数学教学活动中，只要切切实实把握好常用的典型的数学思想和方法，同时注意在不同阶段渗透中小学数学思想的过程，依据现行课本内容和学生的认知水平和能力，从开始就有计划地不断进行渗透，就一定能提高学生的学习效率和数学能力，才能培养学生良好的数学思维能力。

参考文献：

[1]《中学代数研究》 张奠宙 宋乃庆等著 高等教育出版社 ISBN7-04-017761-7.

[2]《中学几何研究》 张奠宙 宋乃庆等著 高等教育出版社 ISBN7-04-017762-5.

[3]《数学竞赛研究教程》单墫著 江苏教育出版社 ISBN7-5343-1706-1.