“三探三思”：借微专题提升初三学生的几何综合能力

高飞

“一切为了学生的发展”是新课程改革的核心理念之一，它要求学校教育教学方针的制定及管理方式的运用都要建立在以学生为本的基础上，要有利于促进学生的健康成长，要有利于学生的终身发展，要以学生获得今后走向社会的基本能力为出发点。这些基本能力包括自主学习的能力、与人合作的能力、信息收集的能力以及信息处理的能力，而这些能力在初三几何学习过程中都有综合体现。

初三阶段的数学复习时间紧，任务重。在对“图形与几何”这部分内容进行复习时，我发现有如下状况存在：首先，“图形与几何”这一内容是初中数学新课程改革后的重要组成部分。从整个北师版教材的课时安排来看，“图形与几何”知识占据的比重很大，与其他章节的联系很密切，在教材中的地位也非常高;从教材的编排上来看，“图形与几何”知识跨越整个初中三年的数学教学，“战线”较长，学生整体感较弱;从近几年的中考知识考察来看，“图形与几何”的知识大约占整个考卷的55%以上，是中考学生得到理想分数的“必争之地”;从试卷出题的角度看，从简单到复杂，从单独命题到几何综合或者代几综合，难度跨越也很大，学生掌握起来有困难。其次，在初三数学备考的一轮复习中，很多教师在对“图形与几何”这部分内容进行教学时，大多是按照数与代数、空间与几何、概率与统计这样的知识模块，遵循着“先复习相应知识点，然后按照知识点复习典型例题，做对应习题的方式进行复习”的模式。这样复习的缺点是知识点仍然独立，例题与例题之间没有承接，缺乏数学知识的整体联系，不利于数学思维的培养。学生复习后仍然停留在现有水平，不能得到更好的发展。对于大多数学生而言，他们能够掌握最基本的知识内容及简单做法，但是不具备很强的题目综合能力，无法完成难度较大的题目，这就需要教师为他们搭出向上的阶梯，指明思考的方向。适当地应用微专题来进行教学，可使课堂的教学主题明确、集中。由于选择的例题、习题都为同一主题而服务，从而让学生能够对某一知识点从理论到实践都有一个认识的过程，能进一步提升解题能力、思维能力，不失为一个有效教学途径。

一、“一探”引例寻出路，忆思专题知识点（引例+相关知识点）

微专题是指教师针对某一具体知识点、能力点、易错点或检测点，从其涉及的基本概念、基本原理或基本方法入手，精选例题和习题，编制成的能够在一节或两节课内完成的专题（教学任务）。其主要目的是帮助学生更好地弥补盲点、强化重点、突破难点、纠正易错点。也就是说，教师要在教学过程中发现学生比较集中的问题，经过梳理整合，确定编制微专题的主题，然后精选与该主题相关的典型例题来进行教学。更为重要的是，要通过对典型问题的分析，总结出一般的规律、方法或者技巧，最后通过一定数量的相关练习进行巩固拓展，进而让学生提高解题能力。

在教学中，根据学生的学习需要，我结合微专题的特点，总结出了“三探三思”微专题教学法，其基本的教学模式及操作方法如下图所示。

（一）设计引例

引例是“三探三思”微专题教学法的入口，要想获得好的教学质量，必须设计出适当且高质量的引例。引例的设计要有一定的思维容量和思维强度，需要经过努力思考才能解决的问题才是最适合的问题。

在设置问题引例时，我遵循了以下几个原则：

1.符合要求，特点鲜明

由于互联网络的发展，我们很容易能看到各年份的全国各地的中考题，其数目庞大。因此，我会选择那些符合沈阳市命题特点的题目作为引例。近几年沈阳的综合题目大多是3～4个问题，由浅入深，问题内部思维方法相互关联。而三角形的综合题目考察多从教材上的母题入手，在图形变化中考察知识。

2.方法统一，前后贯穿

数学的综合题目，涉及的知识比较广泛，命题者为了考察学生的综合思维能力，往往会把很多知识点融合在一起，那种难度过大，多种知识点混杂的题目就不适合作为引例使用。我们要选择的题目是那种解题方法非常针对本节微专题的内容的题目，从而让学生在上课前对教師要讲授的知识和方法有一个初步的理解，不能解决的也可以带着问题学习。

3.由浅入深，层层递进

引例的问题要有层次，做到“入口易，出口难”，“入口易”是指题目为是中等偏下水平的学生也要很熟悉，解题快速。“出口难”是指题目的呈现有很大变化，大多需要添加辅助线复原模型，才能解题，从而达到对学生的思维能力的提升。

（二）设置相关知识点

要设置微专题所涉及的基础知识点，给出每一个微专题所用到的教材中的基础的定理、定义，明晰内容，规范书写。如“手拉手”问题。

【问题探究】

如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由。

【深入探究】

如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45?，求BD的长。

如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长。

上述题目三个问题都用到的定理是：

这道引例是“手拉手”问题中非常典型的例子，其模型单一，并且涉及到的知识点相对集中，符合沈阳市近几年的命题方式。题目的三个问题有层次，分别适合低、中、高能力的学生解答。第一个问题，学生在七年级学完全等知识之后就开始接触这类问题，非常熟悉。中间的问题则需要学生根据第一问题的解答方法做辅助线，构造出“手拉手”的模型。最后一问不但需要学生自己构造出“手拉手”模型，还需要变换方向。这道题目对于学生从更高角度体会“手拉手”模型有很大的帮助。为了让学生明晰此模型的基本原理，题目最后还以填空的形式复习了定理的内容。

二、“二探”范例索途径，巧思模型通用法（例题+模型+习题）

（一）典型例题，见微知著

我在选取例题时采取了以下的方法：

1.分解难度，呈现精华

课堂上所选取的例题，均为问题背景单一、叙述简单、未经过变化的题目，这类题目可以根据教师授课的需要编写，也可以在复杂的题目中抽取出自己想要的题干。我认为，在进行专题教学时，一定要剔除掉那些属于另外一个难点范畴的问题，避免课堂上学生因为其他难点的干扰，造成思维的困惑，使得课堂教学主次不分。如下边的这道题目：

基本问题：如下图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在同一条直线上，连接CD、BE，M、N分别为BE、CD的中点，连接MN、AM、AN.请判断△AMN的形状，并说明理由。

这道题目就不适合作为例题。原因是图形的推导比较复杂，位置也不够随意，推导的过程方法不通用，不适合大多数的学生作为基础图形记忆理解。

通过这样的改变，我实现了以下几个目的：

（1）使题目变得具有典型性、基础性、示范性，更利于学生掌握、记忆

（2）分解了原题的难度，在例题和习题的配合下，学生理解原题目的变换由来，加深了对模型的理解。

（3）使微专题的思路前后贯穿，难度缓慢提高。

2.类型全面，阶梯上升

对于一个微专题的模型，题目的变化是多种多样的，例题要把这些变化的最基础形式反映全面。主要需要考虑的方面有：知识层面、方法层面、思维层面以及模型自身特点等。如我选取的“手拉手”模型的例题：

基本问题一：如下图，两个有公共顶点的等边△AOB和△COD，你能得到哪些结论？

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长。

在选取这些例题时，我的思考是：知识点的角度涵盖了三角形的全等证明和相似证明;从方法的角度，涵盖了无辅助线证明到辅助线添加;从模型角度涵盖了模型完整的类型到自主构建模型的类型;从思维的角度涵盖了基础思维到高层次思维。

（二）基本模型，一通百通

给出每一个专题所涉及的典型方法，这是整个微专题的中心之所在。要让学生在此过程中提炼出本节微专题的典型特点，适用于这样特点题目的典型方法。这是每节课的教学重点。这部分的讲解应该包括模型定义，模型特点，通用方法，常用结论四个部分。如"手拉手"的基础问题二的归纳总结。

全等、相似“手拉手”模型说明：这个模型是由两个共顶点且顶角的三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等或者相似的三角形;遇到“手拉手”模型时我们可以采用“边角边”的方法进行证明;“手拉手”模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。

（三）巩固练习，举一反三

每道例题后的习题选择也很重要，我按照如下的原则选择习题：与例题的模型方法必须一致，达到模仿熟悉的目的;对例题的背景进行更高思维量的变形，达到对模型的深层思考;习题的题干尽量能与例题一致，可以节省课堂时间。

如上述的“手拉手”模型基本问题二的两道习题。对应练习1是对基本问题二的延伸和拓展，学生在证明此题目的过程中，加深了对手拉手问题的理解;化解了原有题目的难度，分层次的把题目的思维角度展现给了学生。这样做的目的是让学生明确，在条件改变的情况下，怎样从题目背景中分辨出手拉手模型，并且利用手拉手模型结论继续证明出其他问题。对应训练2是对应训练1图形的变形，目的是让学生能够在图形变化较大的情况下，仍然能准确的找到证明 “手拉手”模型的条件，并且熟练解决问题。

微专题方法的应用是每节课的教学重难点，也是是教学活动的落脚点，对整个教学活动具有很强的引领性，所以在难点处设计的练习题需要是具有导向性的问题，突破难点，达到深刻理解的目的。

三、“三探”复例求提升，善思数学多变化（复做引例+反思提升）

（一）复做引例

教学对于教师来说，是一个至关重要的过程，而思考对于学生来说更重要。教师对教学思想的理解不仅要建立在以往的教学经验上，更要以客观的、辩证的思想观来向学生传递信息。因此，在授课后让学生用所学到的模型思想重新思考引例，寻找问题突破口，解决问题，可以达到自身的融会贯通。教师也可以通过學生复做引例的成绩对比，及时修改学案和课堂教学，使得课堂教学更为精准。

（二）反思提升

反思提升部分的习题是针对部分学有余力的学生设计的题目，体现了学生在学习上的差异性。这部分习题选择的思路用到了微专题的模型思路和方法，但是习题的给出超越了单一知识的命题范畴，让学生从更加广阔的背景认识到了模型的精髓，以达到了真正的知识迁移。具体要求是，延伸课堂的思维方法，增加思维量，添加辅助线。

还以“手拉手”模型为例，在课后的反思提升中，我们可以继续呈现给学生如下的图形变化：

这些图形以多边形为背景，前三个用到全等的知识，最后一个用到相似的知识，这是对“手拉手”模型的更高阶思维的补充，题目还可以根据学生的实际情况选择是否添加辅助线。

（责任编辑：杨强）