品味三角恒等变换中的误区警示

■樊炯炯

三角恒等变换的方法灵活多变，突出对思维的灵活性和严密性的考查，解题时稍有不慎，便会出现增解、漏解甚至错解的情况。本文归纳三角恒等变换求解中的误区，希望能给同学们以警示。

误区1：三角函数定义理解出错

例1 已知角θ的终边落在直线y=-3x上，求2sinθ+3 cosθ的值。

错解：取直线上一点(1，-3)，则sinθ=-3，cosθ=1，所以2sinθ+3 cosθ=-3。

剖析：上述解法对sinθ=y，cosθ=x的理解有误，定义中的(x，y)必须是角θ终边与单位圆的交点坐标，不是任意点。

正解：设角θ终边与单位圆的交点为(x，y)，则由此解得或故

警示：此类问题需要借助单位圆，将角θ终边上的点转化成终边与单位圆的交点，通过解方程组求得交点，再依据三角函数的定义求解。

误区2：应用诱导公式忽视分类意识

错解：原 式

剖析：上述解法对三角函数诱导公式理解不准确，没有对整数k分奇偶性进行讨论。

警示：诱导公式(k∈Z)的本质是：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(把α看成锐角时整体角所在的象限)。当整体角无法确定象限时，一定要对整数k分奇偶性进行讨论。

误区3：对诱导公式中的符号看象限理解不正确

剖析：上述解法对中的符号看象限理解不正确。

正解：利用诱导公式可把看成锐角，则是第二象限角，所以

警示：诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限。这里的“奇偶”指的是的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数名称的变化。“符号看象限”的含义是：把整个角看成锐角时，所在象限的相应余弦函数值的符号。

误区4：给值求角中选用三角函数名称不当致错

例4 若，且α，β均为锐角，求2α+2β的值。

错解：因为α为锐角，所以cosα=又β为锐角，所以cosβ。所以sin(α+β)=。由于0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，所以0°＜α+β＜180°，所以α+β=45°或α+β=135°，即2α+2β=90°或2α+2β=270°。

剖析：因为y=sinx在(0，π)上不是单调函数，y=cosx在(0，π)上是单调函数，所以应求cos(α+β)的值，可避免出错。

正解：因为α为锐角，所以cosα=。又β为锐角，所以cosβ所以cos(α+β)=

由于0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，所以0°＜α+β＜180°，故α+β=45°，可得2α+2β=90°。

警示：由三角函数值确定角的大小，一定要注意结合角的范围选择合适的三角函数。已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，若角在(0，π)内，选余弦函数，若角在内，选正弦函数。

误区5：忽视隐含条件的挖掘致错

例5 若α，β，γ均为锐角，且sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，则α-β=____。又α，β均为锐角，所以

错解：由条件可得sinα-sinβ=-sinγ，cosα-cosβ=cosγ，两式平方相加得cos(α

剖析：上述解法没有真正利用α，β，γ均为锐角的条件，从而导致多解。

正解：由条件可得sinα-sinβ=-sinγ，cosα-cosβ=cosγ，两式平方相加得cos(α。由γ为锐角，可得sinα-sinβ=

因为α，β均为锐角，所以α＜β，则β＜0，故-sinγ＜0，因此条件中隐含着sinα＜sinβ。

警示：当三个角均为锐角时，一定要挖掘它们之间的隐含条件，如题中由sinα-sinβ=-sinγ＜0，可得α＜β。

感悟与提高

已知sinθ，cosθ是方程4x2-4m x+2m-1=0的两个实根，且，则m=____。

提示：由根与系数的关系可知1+2sinθcosθ后可解得