数形结合相得益彰

■刘长柏

平面向量的线性运算与坐标运算，既体现了形的直观性，又体现了数的严谨性，两者有机结合，使得数形结合得到有机地体现。下面探讨平面向量中数形结合的几种题型，供大家学习与参考。

一、线性运算以形示数，直观显现

例1在平行四边形A B C D中，A B=4，，若，则的值是____。

解：因为A B C D是平行四边形，利用向量的加法可得，所 以。答案为18。

评析：本题从形的角度研究向量的运算，巧妙地利用了向量的加法和数量积运算。

二、坐标运算以形助数，化难为易

例2如图1，已知直角梯形A B C D中，A D∥B C，∠A D C=90°，A D=2，B C=1，P是腰D C上的动点，则的最小值为____。

图1

解：以D为坐标原点，DA为x轴，D C为y轴，建立直角坐标系x D y，则A(2，0)。

设C(0，m)，m＞0，则B(1，m)。_设点，则(1，m-t)，所以所以

评析：本题是一个有关形的问题，通过代数变换，即用数的方法，说明了形的道理。从向量的定义可以看出，向量既有代数特征又有几何特征，因此借助向量，可以将某些代数问题转化为几何问题，又可以将几何问题转化为代数问题，向量起到了数形结合的桥梁作用。

三、数形对照，相互渗透

例3如图2，在等腰直角三角形A O B中

图2

解：(方法1)因为

(方法2)建立如图2所示的直角坐标系x O y，则，所以

评析：方法1是利用向量的数量积运算求解的。方法2通过建立直角坐标系，巧妙地将向量问题坐标化，使向量运算完全代数化，体现了数学建模思想的应用。