三角恒等变换学法“直通车”

■倪志华

解三角函数问题往往离不开三角恒等变换，离开了三角恒等变换去解三角函数问题，可谓“天方夜谭”。三角恒等变换的主要题型有：三角函数的化简，三角函数的求值，三角函数的证明。

1.三角函数的化简

三角函数化简的常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用与变用。

评注：三角函数的化简要遵循“三看”原则：一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等。

2.三角函数的求值

这类问题一般给出某些角的三角函数值，要求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)等。

评注：解决此类问题，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角。

3.三角函数的证明

三角函数证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个“桥梁”过渡。

例3已知sin(2α+β)=5sinβ，求证：2 tan(α+β)=3 tanα。

证明：由2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α，sin(2α+β)=5sinβ，可得sin[(α+β)+α]=5sin[(α+β)-α]，所以sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=5sin(α+β)cosα-5 cos(α+β)sinα，即2sin(α+β)cosα=3 cos(α+β)·sinα，也即2 tan(α+β)=3 tanα。

故原式成立。

评注：三角函数证明的常用方法有综合法(执因索果)和分析法(执果索因)；三角函数证明的常用策略有化繁为简，左右归一，化差为零，等价化归等。不论采用什么证明方法，都要认真分析三角函数式的特点和函数关系，找出差异，寻找证明的突破口。