共线向量题型例析

■贺显孟

共线向量也叫平行向量。利用共线向量可以证明三点共线、求参数的值或参数的范围、求点的坐标、求向量的坐标以及解决与三角函数有关的问题。下面举例分析，供大家学习与参考。

题型一：利用共线向量的概念判断命题的真假

例1 给出下列命题：

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；⑤两个具有公共终点的向量，一定是共线向量。

以上命题中正确的个数为( )。

A.1 B.2

C.3 D .0

解：向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量，①不正确。若向量a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，则a与b的方向不一定相同或不一定相反，②不正确。共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，③不正确。如果b=0，则a与c不一定平行，④不正确。两向量共线要看其方向而不是起点或终点，⑤不正确。应选D。

小结：方向相同或相反的非零向量，叫作共线向量或平行向量，规定：0与任一向量共线。相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量。

题型二：利用共线向量证明三点共线

例2 已知非零向量e1，e2不共线。如果e2)。求证：A，B，D三点共线。

证明：因为所以向量与共线。又向量与有公共点B，所以A，B，D三点共线。

小结：证明三点共线，可利用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得到三点共线。

题型三：利用向量共线求参数的值

例3 (1)已知a与-b是两个不共线的向量，且向量a+λ b与-(b-3a)共线，则λ的值为____。

(2)已知点A(-1，1)，点B(2，y)，向量a=(1，2)，若，则实数y的值为____。

(3)设向量a=(m，2)，b=(1，m+1)，且a与b的方向相反，则实数m的值为____。

解：(1)因为a+λ b与-(b-3a)共线，所以存在实数μ，使得a+λ b=μ(3a-b)。由此可得

(3)因为向量a∥b，所以m(m+1)=2×1，解得m=-2或m=1。当m=1时，a=(1，2)，b=(1，2)，a与b的方向相同，舍去；当m=-2时，a=(-2，2)，b=(1，-1)，a与b的方向相反，符合题意。

故实数m=-2。

小结：设向量a=(x1，y1)，向量b=(x2，y2)，则a∥b⇔a=λ b(b≠0，λ∈R)；a∥b⇔x1y2-x2y1=0。

题型四：利用向量共线求参数的范围

例4 如图1所示，A，B，C是圆O上的三点，C O的延长线与线段B A的延长线交于圆O外一点D，若，则m+n的取值范围是( )。

A.(0，1)

B.(1，+∞)

C.(-∞，-1)

D.(-1，0)

解：由点D是圆O外一点，可设0)，则

图1

由C，O，D三点共线，令1)，可得由上可得，所以m+n=应选D。

小结：A，P，B三点共线为平面内异于A，P，B的任一点，t为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x+y=1)。

题型五：利用向量共线求点的坐标

例5 如图2所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，试利用向量方法求线段A C与O B的交点P的坐标。

图2

解：设

因为与共线，所以(4t-4)×6-4t×(-2)=0，解得

小结：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一的实数λ，使得b=λ a。若向量a=(x1，y1)与b=(x2，y2)共线，则x1y2-x2y1=0。

题型六：利用向量共线求向量的坐标

例6 (1)已知点A(1，3)，B(4，-1)，则与向量同方向的单位向量是____。

(2)若平面向量a，b满足|a+b|=1，a+b平行于x轴，向量b=(2，-1)，则向量a=____。

解：(1)由=(4-1，-1-3)=(3，-4)，可得|，所以与向量同方向的单位向量为

(2)设向量a=(x，y)。由b=(2，-1)，可得a+b=(x+2，y-1)。

因为向量a+b平行于x轴，所以y-1=0，即y=1。故向量a+b=(x+2，0)。

又因为|a+b|=1，所以|x+2|=1，可得x=-1或x=-3。

故向量a=(-1，1)或a=(-3，1)。

小结：单位向量是长度(或模)等于1个单位的向量。向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则向量，向 量的长度

题型七：利用共线向量解决与三角函数有关的问题

例7 已知向量a=(1-sinθ，1)，b=，若向量a∥b，则锐角θ等于( )。

A.30° B.45°

C.60° D.75°

解：由向量a∥b，可得(1-sinθ)(1+，解得又因为θ为锐角，所以θ=45°。应选B。

小结：平面向量作为高考的必考内容，一直受到命题者的青睐，尤其是平面向量与三角函数有关的问题是高考的常见考点，这类问题应该引起同学们的重视。