转向节主销与转向轮间转向运动及转角误差分析＊

2020-05-25王成志王云超

汽车技术 2020年5期

王成志王云超

（集美大学，厦门 361021）

主题词：转向梯形定位角参数运动分析转角误差转角计算误差

1 前言

转向机构运动设计与车轮实际转角和理想转角的计算有关，这两者的计算误差必然影响车辆转向机构的设计。车轮实际转角涉及左、右主销之间和主销与车轮之间2类运动传递。前者的相关研究文献较多，计算模型有近似的平面模型[1-3]和精确的空间模型[4-5]；后者与车辆转向轮的主销内倾角、主销后倾角、车轮外倾角与前束角这4 个定位角参数有关，严格来说，目前还缺乏其运动的精确计算模型。对断开式车桥的转向梯形进行运动分析时，一般直接用转向轮车轮轴在水平面内的转角变化作为车轮转角[6-7]。而整体式车桥的转向梯形运动分析则分为多种情况：许多文献[1-5]并不考虑主销与车轮之间的运动差异；文献[8]、文献[9]等将主销转角按水平角速度分量分解获得车轮转角，但只考虑主销内倾与主销后倾的影响；文献[10]等提出的球面三角学计算模型由于考虑了外倾角对转动的影响，计算精度明显提高，但依然忽略了车轮前束角对转向的影响。另外，用球面三角学建立的模型没有解析的反解，也未考虑初始前束角影响。如果使用存在误差的计算模型进行优化设计，会影响设计精度或影响对车辆运动性能的判断[11]。

理想转角采用阿克曼理想转向条件计算时，主销中心距或轮距K和车辆轴距L有多种不同定义，有些定义会给理想转角自身带来计算误差[12-13]。

本文重点建立考虑4个定位角参数的车轮转角计算数学模型，以此为基础，分析用各种模型计算转角时转向机构中各部分计算误差，并分析误差对机构总转角误差的影响，根据获得的接地点坐标定义合理的K、L取值。

2 主销及车轮运动模型

2.1 几何分析原理

车辆转向轮的主销内倾角α0、主销后倾角β0、车轮外倾角λ0与前束角τ0等的定义如图1所示。图1中，DC为主销轴线，D点为主销轴线与车轮旋转轴线的交点，点M0为车轮轮心，D与M0的距离为m（DM0连线为车辆直行时的车轮轴线初始位置）。主销转动360°时，轮心M0则绕主销转动1周，形成的轨迹是圆心在主销轴线上以O为圆心，半径为mr的空间圆ζ；而车轮轴线形成一个以DM0为母线，底圆为ζ，半顶角为φ的虚拟正圆锥体。

图1 定位参数及车轮轮心轨迹

在图1的D点建立如图所示的DxLyLzL坐标系，将空间圆ζ沿zL负方向拉伸或投影到水平地面H上，得到图2所示的椭圆柱体。以ζ的圆心O为原点建立坐标系OXLYLZL，ZL轴与左主销重合，YL轴为圆锥底圆ζ所在斜面与W面（通过主销的竖直垂面，即YLZL平面）的交线OE（E点为底圆ζ的最高点），斜向上为正。YL轴线和车轮轴线DM0在水平面H上的投影分别为若左主销转动角度为θL，即在圆锥底圆ζ上从OM0转过角度θL到达OM（设车辆右转），则左车轮轴线位置DM0转到新位置DM，而在水平投影面上，左车轮轴线的投影从初始位置D′M0′转过角度δL到达D′M′、OM0的投影从转到O′M′。δL即为车轮绕垂直轴zL转过的角度，相当于θL的水平分量。这时OM与YL轴的夹角为θ，D′M′与D′O′的夹角为δ（δ相当于θ的水平分量，以点D在水平面的投影点D′为角的顶点），两者的对应关系可通过θ的投影角σ来关联。YL轴正向、D′O′（D′指向O′为正）是角度θ、δ的测量起始标示线，都位于通过左主销的竖直垂面W上。分别为θL、δL的测量起始标示线。

图2 左主销转角与左转向车轮转角投影关系

图3所示为右主销的几何投影关系。同理，假设右主销转动角度为θR，即在圆锥底圆上ORN0转过角度θR到达ORN（设车辆右转），则右车轮轴线从AN0转到AN，而在水平投影面上，右车轮轴线的投影从A′N0′转过δR到达A′N′，ORN0的投影从转到。这时ORN与YR轴、A′N′与的夹角分别为θ′、δ′，它们的测量起始标示线YR轴都位于通过右主销的竖直垂面W′上。

图3 右主销转角与右转向车轮转角的投影关系

显然，先要确定θ（θ′）与δ（δ′）的关系。

2.2 斜面角度投影及主销转角水平分量

在图1的DxLyLzL坐标系中，DO与DM0上的单位向量分别为：

式中，αβ=arctan(cosα0tanβ0)为主销轴线与其在yLzL平面上的投影间的夹角；λτ=arctan(cosλ0tanτ0)为车轮轴线与其在yLzL平面上的投影间的夹角。

依据式（1）和式（2），根据空间向量的夹角公式，圆锥的半顶角为：

式中，χ=sinαβsinλτ+sinα0cosαβcosλ0cosλτ+cosα0cosαβsinλ0cosλτ为由4 个定位参数决定的半顶角的余弦。

从图2 中切出如图4a 所示的计算模型。为便于观察分析，将图2 中的圆锥体和椭圆柱体投影到W平面、XLYL平面和水平面H上，结果如图4b～图4d所示。

图4 左主销转角与左转向轮转角的几何关系

借助图4b可以求出图4a中的四边形EE1M1M（其中EE1和M1M都与E1M1垂直）中EE1、MM1的长度和。再由图4c求出----EM后，有：

式中，ε=arccos(cosα0cosαβ)为主销轴线与铅垂线的夹角。

在△OE1M1（即△O′E′M′）中，可以求出边长和，所以又有：

式中，ρ=sinεcosθ。

联合式（4）和式（5），整理可得：

式（6）为斜面角度沿垂直方向投影到水平面的投影方程。设λ1为任意位置车轮轴线与水平面的夹角，则=mcosλ1。所以，根据水平面的△OD1M1（即△O′D′M′），由余弦定理可得：

λ1也是文献[14]中定义的外倾角，考虑了转向过程中外倾角的变化。由于车轮轮心M与D点的高度差为所以也有：

根据△OD1M1各线段长度，有：

式（9）即为相对主销垂直面W的主销转角水平分量方程，水平分量的角度顶点D′是车轮轴线与主销轴线共点D在水平面的投影点。由式（9）反求θ：

式（10）有2 个解，互为补角，统一取“+”号。式（9）和式（10）即为斜面角度θ与其水平分量δ的相互映射关系式。对图3所示的右主销，用同样的方法可推导出同样的式（9）与式（10），只需将θ、δ分别用θ′、δ′代替即可。

显然，δ=f1(θ)、θ=f2(δ)均为变量θ或δ的偶函数，且δ=f1(θ)=f1(360˚+θ)=f1(360˚-θ)，θ=f2(δ)=f2(360˚+δ)=f2(360˚-δ)。

利用上述函数特性，可以求出车轮转角与主销转角，即δL和θL、δR和θR的相互映射运动关系式。

2.3 左转向轮转角与左主销转角的关系

为了考虑主销后倾及车轮前束对YL轴正向方位的影响，引入2个符号常数：

车轮轴线在初始位置（车辆直行）时，从图4中可以看出，其在水平面的投影D′M0′与W面的夹角为(δ0-sbτ0)（δ0为主销轴线在水平面投影与yL轴所夹锐角），按式（10）求出初始位置的θ记为θ0。以(δ0-sbτ0)和θ0为角度参考位置，即可求出δL和θL的关系。

由θL求δL时（称为左侧“销-轮”转角计算），先按θ=|sbstθ0-θL|用式（9）求得δ，则：

由δL求θL时（称为左侧“轮-销”转角计算），先按δ=|-sbδ0+τ0+δL|用式（10）求θ（如果δ＞180°，则θ取反再加360°，即360°-θ)，则：

2.4 右转向轮转角与右主销转角的关系

同理，先以(δ0-sbτ0)替换式（10）的δ求出θ0（左、右轮θ0相等）。以θ′=|sbstθ0+θR|替换式（9）的θ求得δ′。则右侧“销-轮”转角计算公式为：

以δ′=|sbδ0-τ0+δR|替换式（10）的δ求出θ′，则右侧“轮-销”转角计算公式为：

以上公式中，规定δL、θL、δR、θR右转为正，左转为负，4 个定位参数按图1 所示的偏斜方向为正。另外，求得的θL与θR、δL与δR均关于原点对称。

目前的文献中“轮-销”和“销-轮”的计算模型有3种：多数文献假设车轮转角等于主销转角（以下称“等同法”）；文献[8]、文献[9]等采用公式，实际就是按主销单位矢量的垂直分量分解，即θL=δL/(cosα0cosαβ），它是按将角速度分解为水平分量的思路分解的，并不是真正的角度水平分量（以下称“角速度分量法”）；文献[10]采用“球面法”。“球面法”被认为是根据主销转角计算转向轮转角最精确的计算模型。但须注意：文献[10]中主销后倾角的定义实际是本文的αβ，与国家标准[14]中的定义不同。

假设车辆4 个定位参数α0、β0、λ0、τ0如表1 所示，其中，δRdmax、δLdmax分别为内、外轮理想最大转角，分别用“球面法”模型与用本文“销-轮”模型计算转向轮转角值，以比较两者的差别。

表1 车辆基本特性参数

因左、右侧模型计算结果关于原点对称，这里仅讨论右“销-轮”计算模型。以右主销转角θR=-40˚～36˚为自变量，用各模型计算的右轮转角用δRi表示（用下标i区分各模型的计算值，i=0 表示本文计算模型，i=1 表示等同法，i=2表示角速度分量法，下同），其他方法与本文模型的差值曲线如图5所示（其中“球面法”表示左转的负转角公式原文献未提供，为本文增加的）。

图5 右侧“销-轮”各计算模型的计算误差

从图5 中可以看出，用“球面法”与用式（15）计算的转向轮转角的差值接近零（按实际数据查出，在θR=-40°～36°的转角范围内，两者最大差值为0.000 316°）。如果将τ0=0（“球面法”模型没有考虑前束的影响）代入式（15）中，则两者没有差值。

假设各杆件是刚体，不考虑各种力、变形或间隙影响，则车辆的主销与转向轮之间的运动转换关系理论上仅与4 个定位参数有关。本文计算公式中完全考虑了这4个因素，获得的车轮转角（δL、δR）是主销转角（θL、θR）真正的理论水平分量。

2.5 接地点相对坐标

对左轮（见图2），当车轮轴位于DM位置时，车轮与地面的接触点P（假设车轮是刚性的）显然位于垂直平面DMM′D′与地面水平面的交线D′M′上，且在该面上DM⊥MP。D′M′与轴（与yL平行）的夹角为(δL+τ0)（动态左前束角），故在图2 的坐标系DxLyLzL中，左车轮接地点P（相对于点D）的坐标为：

式中，r为车轮的轮辋半径或取轮胎半径；λ1的余弦和正弦见式（7）和式（8）。

求解时，左轮以δ=|-sbδ0+τ0+δL|代入式（10）求得θ，再带入式（7）或式（8）中求出λ1随车轮转角的变化规律，然后按式（17）求出P点相对坐标。

用同样方式可求出右车轮接地点Q相对于点A的坐标（图3右轮中取yR′∥yR，则A′N′与yR′轴夹角为(δR-τ0)）。

3 转角误差及转角计算误差

3.1 单侧转向轮转角误差计算模型

在优化设计转向机构时，一般是车辆一侧（如左主销或左车轮）按理想运动输入，将另一侧（如右主销或右车轮）机构输出的转角与理想转角比较获得转角误差。即：

式中，δLd=-δRdmax～δLdmax、δRd分别为左、右轮理想转角。

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3.2 转角的计算误差

式（18）中的机构转角δR和理想转角δRd与计算模型有关，都存在计算误差的问题。

3.2.1 理想转角及合理的L、K取值

转向系统的优化目标是保证左、右轮转向时的纯滚动关系，即δL、δR必须满足阿克曼理想转向条件：

本文同时考虑车辆的左、右转向，右转为正，左转为负，故不再区分内轮、外轮。

式（19）本身是精确的，但其中的L、K有多种定义[12-13]。不合理的定义会造成理想转角δRd出现计算误差。

如图6 所示，要保证转向轮纯滚动，按速度瞬心，左、右主销轴线与车轮旋转轴线的交点A、D点在水平地面的投影点与车轮接地点Q、P连线的延长线相交于后轴延长线的O点（水平地面投影点），故有：

图6 理想的内、外转向轮转角关系

根据式（17），左车轮轴线在水平地面上的投影与横向（AD线）的夹角为(δLd+τ0)。同样，右车轮轴线在水平地面上的投影与横向的夹角为(δRd-τ0)。因此，式（20）可改为：

车轮存在外倾导致其产生圆锥滚动，使车轮有向外滚动的趋势[15-16]。理想情况下，这一趋势要抵消前束产生的向内滚动，加上考虑到左、右车轮的相互牵制作用，可以消除式（21）中的前束角τ0。对比式（19）与式（21），可得到如下定义：K是两侧转向车轮轴线与对应主销的交点之间的距离，即；L是转向车轮轴线与主销的交点到过后轴竖直铅垂面的距离，即

另外，如果假设车轮转角（δL、δR）等于主销转角（θL、θR），从式（17）可知，上述定义依然成立。本文通过转向车轮接地点分析得到了K和L的理论值，以实现对理想转角较高精度的计算，而文献[12]、文献[13]则用图形分析或速度分析等方法得到了类似的结果。

3.2.2 转向机构转角的计算误差

单轴转向机构总转角计算误差ηT由3个部分组成：转向车轮与对应主销之间转角模型的计算误差（分别为“轮-销”和“销-轮”计算模型的转角计算误差ηL、ηR）和左、右主销之间的转角计算模型的计算误差ηM。

前文已经用“球面法”验证了本文主销与转向轮转角互算模型的正确性，因此，用前面3 种计算方法获得的转角值，减去用本文模型计算得到的转角值，得到的差值即可认为是各计算模型的转角计算误差。因球面法没有“轮-销”模型，后文将不再涉及。

第3部分计算误差ηM与具体机构有关，而且正确的空间模型理论上没有计算误差，平面模型与空间模型的差值就是平面模型的计算误差ηM。

转向梯形机构设计中，多数文献采用比较简单的平面模型[2-3]。而空间模型因推导较为复杂，目前的文献中没有明晰的空间梯形机构解析关系式。为便于分析及对比，以下直接列出图7 所示的空间RSSR（R 表示转动副，S表示球面副）转向梯形机构A1BCD1左、右主销转向运动关系式：

式中，T=(-1+2 sin2α0sin2αβ)sin(γ1+θL)-sin 2α0sinαβcos(γ1+θL)+d1/b1sinα0sinαβ；U=cos 2α0cos(γ1+θL)-sin 2α0sinαβsin(γ1+θL)-d1/b1cosα0；V=1-2(1-sin2α0cos2αβ)sin2γ1-2 cos2α0cos 2γ1+sin 2α0sinαβsin 2γ1+d1/b1cosα0(2 cosγ1-cos(γ1+θL))+d1/b1sinα0sinαβ(-2 sinγ1+sin(γ1+θL))；γ1为转向梯形底角；b1为球铰中心到主销的垂直距离（A1、D1为垂足），即梯形臂长；为梯形底边长；为转向节臂沿主销轴向偏移的长度。

式（22）有如下的通用解：

图7 车辆转向梯形机构

对于图7的安装方式和式（22）中的系数公式，根号前取“-”号。

3.3 实例及讨论

假设某型载货汽车的转向梯形机构如图7所示，各参数见表1，分析转角误差及转角计算误差变化情况。

先观察转向轮与主销互算时的计算误差ηLi、ηRi。以左车轮转角δL=-δRdmax～δLdmax为自变量，用各计算模型计算左主销转角θLi，差值(θLi-θL0)就是用各模型计算左“轮-销”转角的计算误差ηLi，其随δL的变化曲线如图8所示。同样，用各模型计算的右“销-轮”转角计算误差ηRi随θR的变化曲线见图5。表2列出了在整个转角范围内ηLi、ηRi的平均值以及最大绝对值。对轻型车辆，一般希望转向机构的转角误差控制在1°范围以内，相比这个数值，单独计算的ηLi、ηRi较大。

图8 左侧“轮-销”各计算模型的计算误差

表2 各模型的转角计算误差

以δLd求θLi，按转向机构计算模型式（23）求右主销转角θRi，由θRi计算δRi，ηTi=δRi-δR0即为用各计算模型计算的转向机构总的转角误差，其随δLd的变化情况如图9 所示，相关值见表2。最后由式（18）求出整个转向系统的转角误差随车轮转角变化情况ΔRi，如图10 所示。实际上，ηM=0时，图10中ΔR1-ΔR2即可得到图9的对应曲线。

图9 各计算模型的转向机构总转角计算误差

图10 各计算模型的梯形机构转角误差

若主销之间的转角计算采用理论上无误差的空间运动模型式（23），则ηM=0。图9 及表2 的总转角计算误差ηTi（ηM=0）就是左、右两侧主销与转向轮之间的计算误差带来的。对比图5 和图8 可见，将各部分串联在一起计算后，一般会使总计算误差ηTi比单独的转向轮与主销互算的计算误差ηLi、ηRi小。例如，在本例参数及γ1=78.2°下（3 种方法的最大绝对转角误差分别为0.442 7°、0.578 0°、0.522 6°，数值较小，表明机构参数比较合理，见图10），总转角计算误差ηTi（ηM=0）平均值及最大绝对值都明显比左、右侧的计算误差ηLi、ηRi小，特别是“等同法”的误差平均值反而较“角速度分量法”小。

若将γ1改为71.0°（3种方法的最大绝对转角误差分别为12.722 2°、13.782 5°、13.940 0°，数值较大，表明机构参数不合理），左、右侧的转角计算误差不受影响，总转角计算误差平均值虽有变化，但仍比左、右侧的计算误差明显减小（见表2中γ1=71.0°一行）；这时“等同法”的平均值反而大于“角速度分量法”，而且两种方法的总转角计算误差最大值也反而都大于左、右侧的计算误差最大值。设车辆允许的转角工作范围为Ω，总转角计算平均值减小，表明在Ω的大部分区域，左、右侧的转角计算误差相互抵消，而最大总转角计算误差增大，表明在Ω的小部分工作范围内，总转角计算误差增大。而且该区域一般位于车辆最大转角附近，这时转角误差曲线随车轮转角增大而急剧增大。从图10可以看出，若曲线急剧变化，各模型转角误差曲线虽然很接近，但它们之间可能存在较大的转角差。当然，车辆很少在大转角区域附近工作，加权优化时一般会弱化该区域计算误差的影响。

如果将θL=-40°～36°代入有关梯形机构平面模型[2-3]，得到有关ηM值如表3 所示，总的转角计算误差见表2中ηTi(ηM≠0)一行。对比表2、表3 可知，计算误差ηM会不同程度地增大总的转角计算误差，但ηM并不是直接叠加在ηTi上。

表3 梯形机构平面模型的转角计算误差

可见，由于转向机构计算误差函数的特殊性，机构各部分的计算误差并不是简单地相互累积增大或相互抵消，它们的变化与机构参数密切相关，但变化规律不明显。将不精确的计算模型用于设计，其设计精度难以保证。所以，必须慎重使用有计算误差的运动模型对转向机构进行优化设计。对重型车辆，若综合考虑运动副间隙和零件受力变形等因素，直接用主销之间机构转角误差进行优化设计（即“等同法”）可能具有合适的设计精度，但针对轻型和中型车辆设计，建议采用更精确的转角计算模型进行优化设计或检验。