基于非线性模型预测控制的智能车路径跟踪算法＊

吴飞龙 郭世永

（青岛理工大学，机械与汽车工程学院，青岛 266520）

主题词：行驶稳定性 路径跟踪 动力学模型 模型预测控制（MPC）

1 前言

精确、快速地实现自动转向是无人驾驶车辆的关键技术之一[1]，主动转向控制已经成为智能车领域的焦点[2]。目前已有多种路径跟踪算法用于智能车辆的转向控制[3]，应用较多的有预瞄跟踪最优控制[4]、纯点追踪算法[5]、嵌套式PID 控制算法[6]、线性二次型调节器跟踪控制器[7]以及模型预测控制（Model Predictive Control，MPC）等[8]。

MPC 算法具有预测模型、滚动优化和反馈校正等基本特征[9]，不需要建立精确的数学模型，且适用于自身存在约束条件的控制系统，同时，在解决无人驾驶车辆在高速工况和冰雪等复杂路面条件下的路径跟踪控制问题方面具有独特优势[10]。近年来，模型预测控制算法已经广泛地应用于路径跟踪控制问题[11]。文献[8]使用线性时变模型建立了模型预测控制器，通过对无人驾驶车辆的前轮进行主动转向控制实现车辆的轨迹跟踪；文献[12]、文献[13]提出了一种基于模型预测的控制理论，采用前轮主动转向和四轮独立制动集成的控制方法实现高速低附着路面工况下的轨迹跟踪控制；国内，吉林大学对MPC算法展开了应用研究[14-15]，提出了带有约束的模型预测控制算法，为车辆稳定性控制算法的研究提供了理论基础；蔡英凤团队在已有模型预测控制算法的基础上，优化控制器的控制参数，以实现智能车辆更高精度的自主转向[3]。虽然目前MPC理论较为成熟，但在其控制下车辆以较高车速行驶在附着系数较低的复杂路面时，行驶稳定性与路径跟踪精度难以完美兼顾。

为此，本文在传统MPC 理论基础上建立前轮主动转向控制器，通过优化控制器的各项参数提高车辆的跟踪精度。首先建立目标路径，再通过改变仿真参数，兼顾行驶稳定性，使车辆在中低速下具有较高的跟踪精度，在较高车速下，加入侧偏角软约束，在保证路径跟踪精度的同时，使车辆具备一定的行驶稳定性。

2 6自由度动力学模型

本文建立整车动力学模型研究路径跟踪的鲁棒性和实时性，重点考虑车辆纵向和横向动力学特性，以及车辆横摆动力学特性。为简化模型的复杂程度，以减小计算量，考虑4 个车轮的横向和纵向位移、车身沿z轴的转动、2 个前轮的转动，作出如下假设：不考虑悬架系统对整车的影响；汽车始终行驶在平坦的路面上，沿z轴方向位移为0，且不作俯仰和侧倾运动；车辆转向过程中左、右前轮转角相等；控制过程中，汽车的4个轮胎都处在线性工作区；在控制过程中，车辆制动力矩和发动机的拖拽扭矩为零；汽车在行驶过程中不受空气动力学的影响。据此建立6 自由度车辆动力学模型如图1所示。

图1 车辆动力学模型

根据上述条件，建立的动力学模型为：

式中，m为整车质量；x、y分别为质心纵向位移和横向位移；δf为前轮转角；Flf,l、Flf,r、Flr,l、Flr,r分别为左、右前轮和左、右后轮所受的纵向力；Fcf,l、Fcf,r、Fcr,l、Fcr,r分别为左、右前轮和左、右后轮所受的侧向力；a、b分别为前、后轴到质心的距离；c为前、后轮半轮距；X、Y分别为质心的横纵坐标值；ψ为航偏角；I为车辆的转动惯量。

由于

式中，Flf、Flr分别为前、后轮所受的纵向力；Fcf、Fcr分别为前、后轮所受的侧向力；Clf、Clr分别为前、后轮轮胎的纵向刚度；sf、sr分别为前后轮的滑移率；Ccf、Ccr分别为前、后轮的侧偏刚度。

当前轮转角在较小的区间内，cosδf≈1，sinδf≈δf，tanδf≈δf，6自由度动力学模型可表示为：

3 模型预测控制原理

前文得到的非线性动力学模型可表示为：

式 中，；w为车轮角速度。

将式（6）在点(ξ(t),u(t-1))处求一阶偏导，得到线性时变系统为：

采用一阶差商的方法对式（7）进行离散化，可得：

式中，Ak,t=I+TAt；Bk,t=TBt。

为降低本文算法的复杂度，对式（8）作进一步简化：

式中，Np为预测时域。

本文在加入控制量和控制增量2 个约束条件的同时，也综合考虑对轮胎侧偏角的约束。轮胎侧偏角与车辆质心横向速度、质心纵向速度、横摆角速度和前轮转角之间存在非线性关系，可得：

式中，αfl、αfr、αrl、αrr分别为左、右前轮和左、右后轮轮胎的侧偏角。

将式（10）在(ξ(t),u(t-1))处离散化，得到线性时变系统：

式中，Ck,t=∂α*/∂ξ；Dk,t=∂α*/∂u；α*=(αfl,αfr,αrl,αrr)。

为降低本文算法的复杂度，作进一步简化：

将式（6）以采样周期T离散化，可得：

将状态量ξ(k)和控制量u(k)进行组合得到控制输出量ηtr(k)为：

4 建立目标函数

通过建立目标函数对系统状态量和控制量的优化保证车辆准确、迅速且稳定地跟踪目标轨迹。由于动力学模型的复杂性和实时变化的特点，不能保证每个周期内目标函数都能得到最优控制解，因此，本文在目标函数中加入松弛因子ε以保证每次都有解，最终得到的目标函数为：

式 中，ΔU(t)=(Δu(t),…,Δu(t+Nc-1))；；Q、R、S为权重矩阵；ρ为松弛因子的权重系数，当跟踪误差较小时取较大值，跟踪误差较大时取较小值；Nc为控制时域。

式（14）中，第1项为实际输出量与参考量之间的误差，第2项使得控制量的变化趋于稳定，第3项限制控制量的大小。在t时刻，车辆当前状态量和上一时刻控制量分别为ξ(t)、u(t-1)，综合考虑目标函数和约束条件后，需要进行以下优化：

式中，ΔUmin、ΔUmax分别为控制增量的最小值和最大值；ys、ys,min、ys,max分别为横向距离及其最小值和最大值。

在一个控制周期内，控制目标函数求解后都会得到一系列包括控制量、控制增量和松弛因子的控制序列，该序列的第1 个控制增量元素将作用于系统。进入下一个周期后，系统重复上述过程，从而实现车辆对目标路径的跟踪。

传统的基于MPC的控制器对于约束的优化为：

为保证行驶的稳定性，本文在传统的MPC 下加入侧偏角软约束，以避免汽车在冰雪等光滑路面以较高车速行驶时发生侧滑的现象。

5 控制器的设计

5.1 参数的设置

参数的设置参考文献[3]的方法，选取其中2组控制效果较好的控制参数，如表1、表2 所示，基于传统MPC下汽车在中低速运行时得到的2组轨迹跟踪效果如图2所示，参数2下的控制器得到的轨迹跟踪精度略高于参数1下的控制器，因此本文选取控制器参数2。

表1 控制器参数1

表2 控制器参数2

图2 2组控制器参数下的轨迹跟踪效果

5.2 约束条件

a.要保证轮胎的侧偏角和侧偏力成一定的线性关系，需控制轮胎侧偏角在合理的范围，即侧偏角≤5°。本文研究极其恶劣的光滑路面条件下的路径跟踪，侧偏角对路径跟踪的影响较大，因此设定轮胎侧偏角的约束范围为-2.82°≤α≤2.82°。

b.本文构建的前轮主动转向动力学模型的前轮转角及其变化范围影响路径跟踪的精度，因此设定前轮转角及其变化范围的约束条件为：-0.174 rad≤δf≤0.174 rad，-0.014 8 rad≤Δδf≤0.014 8 rad。

6 仿真结果

本文基于CarSim 平台和MATLAB/Simulink 平台进行联合仿真，设定的目标轨迹为双移线路径，采用附着系数为0.25 的冰雪路面仿真环境。以车辆的初始位置为坐标原点，初始状态为静止。分别对比36 km/h、45 km/h、72 km/h 和80 km/h 4 种车速下的传统MPC 控制与本文改进MPC 控制的跟踪效果，以及前轮转角、航向角及其变化率。

36 km/h 初始车速条件下，2 种控制器的轨迹跟踪结果如图3 所示。由图3 可知，前半程2 种控制器均具有较高的跟踪精度，后半程基于传统MPC 的控制跟踪效果更好，虽然2种控制模式下的前轮转角变化范围传统的MPC 算法大于改进后的，但航偏角的变化相差不大，说明低速下2种控制模式下车辆的行驶稳定性相差不大。

图3 36 km/h初始车速下的仿真结果

汽车以45 km/h 的初始速度行驶时，2 种控制模式下的轨迹跟踪结果如图4所示。2种控制器的行驶轨迹在前半程与参考轨迹都保持高度一致，在后半程均存在一定误差，相比之下，前者控制下的轨迹跟踪精确度更高。综合考虑2 种控制模式下的前轮转角和航偏角的变化范围，2种控制器下汽车行驶的稳定性接近。

图4 45 km/h初始车速下的仿真结果

当汽车以较高车速行驶在附着系数较低的冰雪路面上时，2 种控制器下的行驶轨迹如图5 所示。由图5可知，改进MPC 算法的轨迹跟踪精度明显高于传统的MPC 控制效果，采用改进算法的车辆虽然在中途行驶轨迹与参考轨迹存在一定的误差，但在后半程与参考轨迹趋于一致，而传统MPC 算法控制下的车辆随着速度的增加在后半程发生明显的因侧滑而驶出的现象。前轮转角和航偏角由图6、图7 所示，传统MPC 算法控制的前轮转角出现了一定的振荡现象，而改进后的控制算法前轮转角和航偏角不仅变化范围小于前者，而且变化较为平缓，说明在附着系数较低的路面高速行驶时后者控制的车辆的行驶稳定性明显优于传统MPC算法控制下的车辆。

图5 较高初始车速下的跟踪轨迹

图6 较高初始车速下的前轮转角

图7 较高初始车速下的航偏角

7 试验验证

为验证本文提出的改进MPC 策略的控制效果，以江淮瑞风系列SUV为试验车辆，在0 ℃左右的冰雪场地上搭建实车控制平台，实车测试环境和实车控制平台框架如图8、图9所示。控制平台框架分为状态监控模块、上层控制器、下层执行器和车辆模块。状态监控模块利用传感器和观测器测出当前车辆的状态信息，以预测未来车辆状态，再将信息输入给上层控制器；上层控制器采用本文改进的模型预测控制算法进行二次规划输出最优控制解；下层执行器执行上层控制器的最优控制输出，使车辆沿着预定轨迹行驶，完成完整的闭环控制。

图8 实车测试

试验车辆沿着双移线轨迹分别以72 km/h 和80 km/h 的初始速度行驶，得到一系列实时输出的车辆状态信息，再将数据进行拟合，得到车辆实时运行轨迹，如图10 所示。由图10 可知，虽然实车运行轨迹与离线仿真的轨迹存在一定的误差，但都在可控的范围内，车辆未发生侧滑的现象。试验结果表明，采用改进MPC 算法的车辆在较为光滑路面上高速运行时，不仅能保证路径跟踪的精度，还能保持一定的稳定性。

图9 实车控制平台框架

图10 不同初始车速下车辆实时运行轨迹测试结果

8 结束语

本文针对实车在冰雪路面等较复杂环境下自动转向难以控制的问题，提出了一种基于MPC 理论的轨迹跟踪算法。在中低速运行时通过调整传统模型预测控制的控制参数得到最优控制解，再通过在高速行驶时加入小侧偏角软约束提高复杂环境下车辆以较高车速跟踪预定轨迹时的跟踪精度，最后通过CarSim 和Simulink平台进行了联合仿真，通过实车试验进一步验证了本文控制算法的有效性。仿真和试验结果表明，本文设计的控制器在附着系数较低的路面上以中低速运行时，具有较高的路径跟踪精度；车辆运行速度较高时依然能在允许的误差范围内跟踪预定的路径；车辆在不同速度条件下保证一定的跟踪精度的同时能够维持一定的行驶稳定性。