类比中获新知 应用中显能力

陈兆绪

[摘  要] 《义务教育数学课程标准》中明确指出：“要让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理和初步演绎推理能力. ”其中，“类比法”是培养学生合情推理能力的一种重要数学思想方法. 在初中数学解题教学中，教师应引导学生在运用类比法的过程中学会发现、学会迁移、学会归纳，掌握解题技巧与方法，从而让学生在类比中获得新知识，在应用类比中提升解题能力.

[关键词] 初中数学;类比思想;解题教学;能力培养

所谓“类比法”，是指在学习新的数学知识时，通过联想与其性质、特征相似的已有数学知识，利用新旧知识的相同点，利用处理已有知识的数学方法来获得新知的一种特殊的处理方法. 在初中数学教学中，新概念、新定理、新性质、新运算规则等增加如潮，往往学生虽然做了大量的习题训练，但遇到新题型或题型变式，就会变得无从下手，因此，引导学生运用类比推理的方法来解决数学问题，无疑能让复杂的问题简单化、未知的问题已知化，学生的解题效率能得到极大程度的提升，有效促进学生解题能力的发展.

指导学生在类比中归纳

“从特殊到一般”与“由一般到特殊”是人类认识客观世界的一个普遍规律. 人类对于知识的认识并非是一蹴而就的，而是需要经歷从具体到抽象、从特殊到一般、从感性认识到理性认知的螺旋式发展过程. 在数学学习研究中常用的“类比法”集中体现了“从特殊到一般”的认知规律. 欧拉说过：“类比是伟大的引路人. ”他的许多定理都是通过在类比中不断地归纳总结而形成的. 在初中数学解题教学中，类比法是学生发现解题思路的重要手段，甚至是发现新知识、新规律的重要手段. 事实上，对于一些比较复杂的、陌生的数学问题，往往要经过多次类比、猜想、论证的过程，对于数学能力比较薄弱的初中生而言，要让其灵活运用类比法，还需要教师在解题教学过程中有意识地启发与引导学生通过类比去思考、去学习、去归纳与总结，从而帮助学生掌握数学解题规律.

例如，“折叠问题”是学生学习中的重难点，尤其是对于部分空间想象能力比较薄弱的学生而言，难以想象出折叠后图形的形状，从而导致解题错误或失败. 因此，笔者采用了问题串的形式，让学生通过对题型和问题的类比分析，掌握折叠问题的解题规律.

例1 如图1所示，ABCD为长方形，E为CD边上一点，连接AE，将长方形ABCD沿着直线AE折叠，其顶点D正好落在BC边上的F点. 已知AB=8，CE=3，求S .

例2 如图2所示，在长方形ABCD中，已知CD=1，BC=，现将长方形ABDC沿着其对角线BD进行折叠，其顶点C落在C′处，求S .

教学时，在学生寻找到解题方法后，引导学生比较例1和例2：

（1）在两道例题求解过程中都用到了哪些知识点？

（2）通过比较例1和例2，你能得出什么规律？

（3）你能在上述认知的基础上解决例3吗？

例3 如图3所示，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，现将矩形ABCD沿着直线CE进行折叠，恰好使得矩形顶点D落在对角线AC上的点F处.

（1）求EF的长度;

（2）求梯形ABCE的面积大小.

通过类比与归纳发现，在例1和例2的求解过程中，运用了轴对称、全等三角形、勾股定理、相似三角形、方程等相关知识. 在解决这类问题时，主要运用三角形相似和直角三角形的勾股定理来构造方程，综合运用了方程思想、转化思想. 学生在掌握矩形折叠问题的常用方法及步骤技巧后，再运用类比法来求解例3就会变得容易很多. 可见，运用类比，可以让学生在比较中发现解题规律与方法，并能运用这种方法来解决新的问题，有利于强化学生的解题能力.

指导学生在类比中迁移

所谓“类比迁移”是指学生运用熟悉问题的解决方法去解决新问题的一种解题策略. 类比迁移主要包括类比源的选取和关系匹配两个环节，其中任何一个环节出错，都会导致类比迁移出错，形成类比负迁移. 在类比迁移过程中，包括数学思想方法和解题方法的迁移. 为避免出现类比负迁移，教师应采用灵活的方式方法，让学生把握问题的本质和数学的真谛，力争让学生在解题过程中少走弯路，提高解题效率，促进学生解题能力的培养.

例如，在有关“相似三角形”的解题教学中有这样一道例题：

例4 如图4所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3，BC=7，∠ABC=60°，取BC上一点P，连接PA，取DC上点M，连接PM，使得∠APM=∠ABC.

（1）求AB的长度.

（2）在BC边上是否存在一点P，使得=，若存在，求出BP的长度;若不存在，请说明理由.

学生在求解这道题目时，由于P点和M点都未知，很多学生感觉束手无策，不知道从何下手，这时笔者并未直接告诉学生解题思路，而是继续给出了例5：

例5 如图5所示，在等边三角形ABC中，已知：∠APM=60°，BP=1，CM=，求三角形ABC的边长.

对于例5笔者进行了解题指导：

师：通过读题，除了题目中给出的，你们还可以发现哪些条件？

生：AB=BC=AC，∠B=∠BAC=∠C=60°.

师：结合已知条件和图形，你们觉得△ABP和△PCM有什么关系？

生：两个三角形相似.

师：请说明你的理由.

生：因为∠APC=∠APM+∠MPC=60°+∠MPC，又∠APC=∠ABP+∠BAP=60°+∠BAP，所以∠MPC=∠BAP，又∠B=∠C=60°，所以，△ABP和△PCM相似.

师：非常不错. 接下来怎么做呢？

生：根据相似三角形对应线段成比例就能求出AB的长度.

师：非常好！那么，我们现在再来看看例4，你们是否有思路了呢？

生：例4就是将例5中的三角形改成了四边形，以此类推，同样可以得到△ABP和△PCM相似. 再根据相似三角形对应线段成比例，也能求出AB的长度.

可见，在例4和例5的解题过程中都利用了相似三角形的判定和性质，学生通过对例5中解题思路的分析，明确了这类题目的核心本质，此时，再让他们求解例4，学生运用类比迁移的方法自然就会使得问题解决变得容易许多，大大提高了解题效率，为培养学生解题能力奠定了有利基础.

指导学生在类比中发现

所谓“类比发现”是指在解决数学问题过程中的思维表现在探求中发现问题，并按照相关问题的解决策略进行求解的一种思维方法. 相比于类比归纳，类比发现的表现方向存在显著差异. 类比发现是在原有数学问题基础上通过寻找合理的类比对象，然后与其他数学思维方法进行有效结合来解决问题的一种策略. 对于初中数学来说，各个知识点之间存在一定的关联性，同样的，各个题目之间也存在一定的关联性，因此，为了帮助学生更好地发现其关联性，降低解题的难度，在初中数学解题教学中，教师要指导学生在类比中发现各项数学理论知识之间的关联性，这样能为缩短学生解题时间做好铺垫，同时也对培养与提高学生分析与解决问题的能力具有十分重要的意义.

例如，在“几何图形面积表示”的解题教学中有这样一道例题：

例6 如图6所示，某些代数恒等式可以利用几何图形的分割来表示. 如甲图中，可以用图形面积表示（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2. 还有很多恒等式可以采用几何图形来验证.

（1）写出图乙中所表示的代数恒等式;

（2）已知代数恒等式：（a+2b）2=a2+4ab+b2，请在图丙中利用图形面积来验证等式的正确性.

为了帮助学生更好地理解乘法公式的几何图形表示方法，笔者给出了以下例题帮助学生回顾相关知识.

例7 如图7所示. 在一个边长为a的正方形中，现挖掉一个边长为b的正方形，如图甲所示，然后将剩余的部分拼成一个长方形，如图乙所示. 根据甲和乙中两个图形阴影部分的面积关系，可以得到的乘法公式是：_________.

通过对例7的求解过程进行分析，引导学生回顾乘法公式的几何表示方法. 这时我们再来看例6，第（1）小问如何解决呢？是否可以采用例7中类似的方法呢？第（2）小问又如何解决呢？通过类比可以发现这两道例题之间的联系与区别，其联系在于都运用了数形结合的思想方法，其区别在于例7和例6中第（1）小问，都考查形到数的变化，而例6中的第（2）小问，关注的则是从数到形的变化，是对学生逆向思维和数形结合思想方法的综合考查.

可见，通过上述问题的类比分析，一方面可以帮助学生回忆旧知识，另一方面能提高学生将问题从陌生向熟悉、从一般向特殊转化的能力，有效锻炼了学生的解题思维.

結束语

著名数学家拉普拉斯曾说过：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳与类比. ”可见类比对于数学学习的重要性. 在初中数学教学中，培养学生的类比思维，让学生从已有知识体系中提取相关知识与技能，帮助学生掌握新知识，不仅有利于学生对知识的深刻理解，提高学生的数学应用能力，而且能进一步促使学生认知思维本质与结构的形成，培养学生自主探索知识与创造知识的能力，有效提高学生的数学学习效率.