模型思想视角下“角的比较与运算”设计研究

陈海烽

[摘  要] 文章以“角的比较与运算”为例，阐释模型思想这一视角在设计中的运用. 对于角度的和与差，抽象出有公共端点的三条射线组成的模型这个结构，进而继续模型化，可得到更一般的结构，那就是整体等于部分之和的模型.？摇此设计经过实践后取得了良好的教学效果.

[关键词] 模型思想;设计;实验

“角的比较与运算”是人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第四章第三节“角”的第二小节的第一课时，学生在此之前学习了线段的比较与运算、线段的中点，且已经知道了角的定义、角的表示方法和角的度量. 此内容是学生今后学习角平分线、角的代数运算等内容的奠基课，所以非常重要. 研究者在厦门市第六届课堂教学创新大赛中展示本节课，用模型思想的视角来演绎，取得了良好的教学效果，现整理成文，供大家讨论、交流.

对模型思想的再认识

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中十大关键词对模型思想的定义是：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径. 建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义. ”模型思想是一种基本的数学思想，是《课标》里明确提出的十个核心概念中唯一以“思想”冠名的概念.

沈文选指出，“数学模型可以描述为……运用适当的数学工具，得到的一个数学结构”“数学模型……也包括……数学概念、各种数学公式、方程式、定理、理论体系等”.

研究者主要是为了得到一个良好的数学结构，用数学的符号建立一个基本角度的和与差的运算模型.

教学设计

1. 教学目标设计

（1）通过动手实验、讨论、展示，知道角的比较大小的两种方法——度量法和叠合法，从中感悟角的和与差的运算模型.

（2）利用一副三角板拼凑角度，通过实验的观察和讨论，知道拼三角板的本质就是两个角度的和与差.

（3）通过几何画板的演示，抽象出具体角的和与差的基本模型，能从基本图形位置关系中提炼角度之间的和与差的数量关系模型.

（4）通过对基本模型进行不断变化的过程，让学生从特殊到一般，知道角度之间和与差的运算，能初步运用模型解决问题.

（5）通过基本模型的变式，提高学生关于角度和与差的运算能力.

2. 教学过程设计

（1）温故知新，引出课题

教师：三角板是我们的朋友，今天我们一起来“玩转三角板”.

问题1：你能说出老师手上这个三角形中这两个角的大小吗？

追问：你是如何知道的？

问题2：度量法要注意些什么呢？

追问：要知道这两个角的大小，除了度量法，还有别的方法吗？

问题3：你是如何想到叠合法的？是受什么得到的启发？角度的叠合要注意些什么？

问题4：你知道角的大小比较中的道理吗？

师生活动：学生回忆三角板的相关知识，通过操作、实验发现了度量法和叠合法，教师让学生展示和交流.

教师关注：对于学生的认知，教师给予相应的回应，同时引导学生通过类比的方法获知学生的最近发展区，引导学生从物理模型到数学图形的过渡.

设计意图？摇 从与学生相处多年的三角板入手，能让学生获得亲近感;从特殊角度之间的大小比较，过渡到一般角度的大小比较，能让学生第一次感知从特殊到一般，从而为抽象出角度的和与差的基本模型做准备.

（2）动手操作，探究新知

問题5：我们刚才比较了两个角度（60°和45°）之间的大小，你知道这两个角度之间差了多少度吗？你能否把差的角度拼出来？

追问1：你能否再用这副三角板拼叠出那些度数的角？这些角有什么规律？

追问2：为什么这些角都是15°的倍数？你能说出理由吗？

师生活动：学生动手操作，小组合作探究，师生归纳.

师生归纳：可以拼出很多的角. 还可以拼出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°，180°.

设计意图？摇 三角板的拼角游戏，能让学生对特殊的角度之间有一个良好的认识，能锻炼学生对角度大小的估计能力和动手操作能力，能加深学生对角的识别能力，且能让学生初步奠定“拼与和的运算对应，叠与差的运算对应”的经验基础.

（3）提炼模型，应用新知

问题6：通过对三角板进行拼接，我们获得了不少角度. 下面我们继续观察拼出75°和15°这两个角度的图形. 如图1，老师的三角板和你们的“大小”不同，为什么拼叠出的角度是一样的？

追问1：图1的两个图形和图2有什么地方是一致的？

追问2：老师将上述两种拼法图形化，然后将题一般化，获得如图2所示的模型. 你能告诉我它们之间的和差关系吗？

追问3：这个和差关系的模型能否用文字语言来描述？

追问4：这个模型能否用整体、部分的关系来描述？

设计意图？摇 从上一环节拼三角形的特殊角度出发，获知角度和与差的基本模型，使得教学衔接更加自然，促使学生从实物到图形到文字进而到语言之间的良好转化，引导学生从具体到抽象，加深对角度和与差的理解. 第二次从特殊到一般，直接抽象出现有的模型，引导学生对模型进行表达——有公共端点的三条射线就是对角度和与差的模型的最简图形表达. 接着，教师引导学生从整体到部分，提炼出更一般的加法模型，使得学生的认知能力有质的提升.

（4）变式训练，固化模型

问题7：如图3，∠AOC=45°，∠AOB=30°，求∠BOC的大小.

变式1：如图3，∠AOC=45°，∠AOB=26°34′，求∠BOC的大小（此题系厦门中考题改编）.

变式2：课本例1.

变式3：如图3，（几何画板演示拖动）∠AOC=180°，锐角∠AOB=x°，求∠BOC的大小（用含x的代数式表示）.

变式4：已知∠AOC=45°，∠AOB=30°，求∠BOC的大小.

变式5：如图4，∠AOB=∠_____-∠_____=∠_____-∠_____，∠AOC=∠_____-∠_____=∠_____+∠_____.

变式6：你能根据图4写出结果等于∠BOD的和差算式吗？

变式7：如果老师再增加一条射线，如图5，你还能写出几个结果等于∠BOD的和差算式？

师生活动：教师示范，学生答题并展示.

教师关注：学生答题是否严谨、规范.

设计意图 ？摇从特殊角度的计算，过渡到一般角度的计算，再到式子的表达，再次体现了从特殊到一般，从具体到抽象. 为了对思维进行不断的提升，研究者从有配图到无配图，这一过程体现了分类讨论思想. 且计算时，不仅巩固了度、分、秒的运算，还将其与十进制的加减法进行类比，体现了类比思想.

（5）方法总结，优化结构

教师：我们一起来回顾一下本节课的学习方法.

问题8：对于角的大小比较，我们是如何学习的？

问题9：对于角的和差运算，我们是如何学习的？

追问：从学习过程中，我们可以获得什么样的学习经验？

师生活动：教师和学生共同回忆并整理本节知识的学习流程.

教师关注：学生的表现以及逻辑表达.

设计意图？摇 通过对整堂课的梳理，学生再次回忆学习过程，明晰研究流程，从中获得了学习经验，提高了对整节课的结构把握，同时内化为了自己的知识，能站在模型思想的角度看待数学问题，这有利于培养学生更加深邃的数学眼光.

教学反思

1. 动手实验，感知模型？摇

数学教育家波利亚曾指出，数学具有两个面，以欧几里得方向表现出来的数学看上去是一种系统演绎的科学，但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学. 数学实验是学生在运用有关工具（如学具、计算机、数学软件等）时，在数学思维活动的参与下，通过手脑并用，借助观察、模仿、实验、猜想等手段获得体验，构建发展学生数学认知结构的素养型活动. 从引导学生观察图形入手，感知拼叠角度，进而感知角度的和与差的基本图形，这一认识不是书本或教师告知的，而是学生透过现象，发挥自己的洞察力分析得到的. 此处以发展学生的洞察力，寻求解决问题的方法为主要目标. 角度的拼叠再次让学生经历观察、比较、推理、交流等活动，进一步培养了学生的洞察力，发展了学生的创新意识. 学生的上课表现，说明学生对模型的感知是到位的.

2. 活用画板，抽象模型

《课标》指出：要加强信息技术在数学学习的整合. 本节课，学生通过三角板拼出各种角度，感知各个角度的变化情况，然后通过观察，得出本质——由公共端点的三条射线组成的模型. 研究者通过几何画板引导学生观察，让学生去除非本质的东西，抽象出有用的数学模型，体现了从具体到抽象的数学思想. 同时在变式3、变式4的教学过程中，研究者再用几何画板的功能，给予学生强烈的震撼，这能加深学生对模型的進一步理解.

3. 类比推理，同化模型

在本课的设计中，研究者用到了如下类比：一是角度的比较和线段的比较相类比，二是线段的和差运算和角度的和差运算相类比，三是角度的加减运算和十进制的加减运算相类比. 这些类比的本质就是同化，有利于学生数学素养的提升. 《课标》指出：数学素养是现代社会每个公民应该具备的基本素养. 其中的素养至少包含三个方面的含义，一是用数学的眼光审视生活;二是在生活中养成积累数学活动经验的习惯;三是在不断联系数学与生活的过程中自觉锻炼思维能力和应用能力. 本节课从学生最常见的三角板入手，让学生知道数学就在我们身边，而且可能就在我们经常忽视的地方存在着，需要我们重新去审视，引导学生用数学的眼光去审视三角板的各种用途. 同时就拼叠过程积累数学活动经验，抽象出有公共端点的三条射线这一基本角度和差数学模型，并将此模型加以应用，引导学生从比较抽象的问题中联想、转化为我们已经解决过的数学问题，以达到思维畅通.

4. 变式训练，活用模型

抽象出有公共端点的三条射线这一模型之后，研究者设置了几道题加以运用. 问题7是从特殊的角度入手，让学生体会到运算其实很简单，以增强学生学习的自信心. 教学过程中，变式1加入了不同单位的角度直接运算，此时的难点是60进制的体会. 等学生完成后，研究者分析讲解，接着通过几何画板进行动态演示，进入书本习题，即变式2，体现了一个动态的研究过程，以让学生掌握角的运算. 变式3是研究者给定了一个参数，让学生体会其与一元一次方程的关联;接着研究者将图撤掉，得到变式4，让学生在脑中画图，使得原有的经验得以升华. 而变式5和变式6则主要是训练学生将复杂图形化归为基本模型的能力.

结束语

对于“角的比较与运算”这一课，多数设计者没有从模型的角度去思考. 不少教师认为，这个问题比较简单，不值得花时间，于是往往通过大量的训练去强化角度的和差运算，甚至把这节课当成一堂习题课. 这种做法的背后其实存在着对一节课价值判断的问题，值得我们深思.