爆炸作用下钢框架单柱模型计算方法

2020-05-21杨涛春李国强陈素文

济南大学学报（自然科学版） 2020年3期

杨涛春, 李国强, 陈素文

(1.济南大学土木建筑学院, 山东济南 250022； 2. 同济大学 a. 土木工程学院, b. 土木工程防灾国家重点实验室, 上海 200092)

钢柱抗爆计算方法是对轴力及侧向爆炸作用下的钢柱进行动力响应分析，求解柱中内力随时间的变化关系及柱子的变形曲线，从而得到钢柱损伤破坏对框架的影响过程。

在爆炸作用下，有关梁的抗爆研究已比较成熟：在弹性阶段，可直接根据高等动力学理论得到梁响应的解析解；在塑性阶段，可通过假定合理的梁变形机构，引入塑性铰，简化得到梁的最大变形响应值；在爆炸荷载下，针对钢筋混凝土构件的弯曲和剪切破坏，Krauthammer等[1-2]提出基于等效单自由度的简化分析模型，从而将梁的最大响应值求解方法进一步简化。

与梁的响应形式不同，在爆炸荷载作用下，钢柱中存在较大轴力，可引起沿柱子轴向伸缩变形，同时，柱的轴力和侧移也会导致二阶效应，使柱子产生更大变形。对于梁柱构件的大变形理论，在侧向荷载作用下，主要应用在悬臂梁、薄梁体系的弹、塑性分析中，当同时考虑侧向及轴向荷载作用时，该理论在钢柱的稳定、抗火和抗爆理论研究中应用较多。

在爆炸荷载下，钢柱将呈现大变形特征，同时材料塑性变形、应变率和强化效应等使得钢柱响应呈现较强的几何非线性和材料非线性特性，因此，可通过数值方法对柱子进行分析求解。梁柱的数值分析方法有2种，一是采用单元节点的轴向变形和挠度变形作为未知量，二是采用单元变形后的弧线长度和截面转角作为未知量[3-5]，其共同点都是将梁柱长度及截面划分成若干单元来进行分析。在求解平衡控制方程时，主要采用解析法和数值法[5]。解析法通常是利用椭圆积分求得控制方程的闭合解，数值法有打靶法、数值积分法等。当同时考虑几何非线性和材料非线性时，结构控制方程将非常复杂，可用有限元法求解。

本文中以钢柱变形后单元的弧线长度和截面转角为未知量，给出钢柱在爆炸作用下动力响应的差分计算方法，考虑了大挠度和轴向变形对梁柱截面曲率的影响。Zupan等[6]利用类似方法进行了常温下的梁柱分析，Vratanar等[7]进一步验证该方法可以用于火灾下的结构分析，王培军[8]用此方法求得了柱子在火灾作用下的轴力-温度关系曲线。在推导爆炸作用下柱子动力平衡方程时，以柱的轴向及侧向变形为未知量，此未知量与变形后单元的弧线长度和截面转角等价，仅为方程表达方便。在数值求解梁柱方程时运用中心差分法，并在爆炸荷载作用下结构的动力响应问题上得到了广泛应用[9-10]，如Krauthammer等[1-2]以Timoshenko梁理论为基础，应用有限差分法分析了钢筋混凝土梁的动力响应和破坏形式。宋春明等[11-12]也用有限差分法对具有柔性动边界的梁进行了弹、塑性动力响应分析，运用相同方法研究了柔性动边界拱的动力响应。本文中提出的差分计算方法介于精确有限元法与简化设计方法之间，可以作为有限元法的补充。

1 爆炸荷载下钢框架柱的计算模型

1.1 单柱模型

在爆炸荷载下，需要通过对整体钢框架分析来求解受爆钢柱的动力响应。此操作过程复杂，且耗时长，因此，可将单柱与整体框架分解，在考虑框架对受爆柱端约束的前提下，简化受爆钢柱的抗爆分析。根据文献[13]，在求解单柱的柱端约束时，对于柱端横向和转动约束，仅考虑与柱端直接相连的相关梁柱构件，且这些构件的远端简化为固端连接，同时计入楼层分布质量的影响，柱端竖向约束根据楼层各梁柱构件的串、并联关系得到，单柱简化过程及其抗爆模型如图1所示。以下将运用差分法求解爆炸作用下钢柱的响应。

q—均布荷载。(a)整体钢框架示意图

p—爆炸荷载； K1—轴向刚度； m1—轴向质量； K2—横向刚度； m2—横向质量； K—转动刚度；J—转动惯量； N′—钢柱外轴力； L—柱长； n—柱单元数。(b)受爆钢柱简化模型图1 钢框架中受爆单柱计算模型

1.2 运动方程

在图1(b)所示的钢柱的计算模型中，柱子受任意分布的爆炸荷载p作用，横截面沿轴线不变，柱上端柔性嵌固，其轴向刚度为K1，轴向质量为m1；横向刚度为K2，横向质量为m2；转动刚度为K；转动惯量为J；柱子底端与地面刚接，柱长为L；钢柱单元数为n。

钢柱的微元体受力状态如图2所示。u、w分别为微元体在x、z轴方向上的位移；M、N、Q分别为截面弯矩、轴力和剪力；θ为挠曲线上一点切线与x轴的夹角；s为变形后的挠曲线弧长。计算中采用内力符号如下：轴力压应力为正，拉应力为负；剪力以使微元体顺时针方向转动为正，逆时针转动为负；弯矩以使柱子荷载作用侧受压为正，受拉为负；转角以柱子轴线顺时针转动为正，逆时针转动为负。

p—爆炸荷载； u、w—微元体在x、z轴方向上的位移；M、N、Q—截面弯矩、轴力和剪力； θ—挠曲线上一点切线与x轴的夹角； s—变形后的挠曲线弧长； t为时间。图2 钢柱微元体受力图

在推导柱子动力平衡方程时，应考虑以下假设：1)柱子横截面垂直于中性轴，并保持平截面。2)忽略柱子剪切、转动惯量影响。上述2种假定主要以梁的Bernoulli-Euler初等理论为基础建立，因此构件横截面保持为平面，并忽略构件剪切、转动惯量影响。3)忽略柱中波动作用过程。由于爆炸荷载施加在柱的侧向，波在柱截面高度内的传播时间远远小于钢柱的动力响应时间，因此，求解钢柱的动力响应时可忽略波的传播过程。

在以上假定的基础上，通过微元体的内力平衡关系，得到构件运动方程，为了方便表达，将构件运动分解成ox、oz轴上形式，可得钢柱的运动方程如下：

(1)

移项整理得

(2)

采用中心差分法求解构件的上述运动方程时，需将式(2)表达成差分形式，如将柱子沿长度方向平均分成n段，柱子共有n+1个截面，第k柱段(截面号为k-1、k)变形后长度为Δsk。对于内部微段，通过中心差分法，式(2)的微分方程转换为离散形式的运动控制方程为

(3)

式中截面位置k的取值为1,2,…,n-1。

1.3 几何方程

根据平截面假定，柱子横截面上任意一点的应变ε为

(4)

式中：ε0为压应变；s0为柱单元初始长度；φ为曲率；y为点到截面中性轴的距离。

变形后柱段长度为

(5)

与对柱子长度离散相同，对式(4)的几何方程进行空间差分离散，可得如下方程。

(6)

(7)

(8)

(9)

沿截面高度分为r层，用j表示层号，离散后构件截面上任意一点的应变为

εk j=ε0(k)+φkyj,k=0,1,2,…,n，

(10)

式中yj为截面第j层到中性轴的距离。

弯矩M和轴力N的离散表达形式为

(11)

式中：σk j为k截面上第j层单元的应力；Aj为截面第j层单元的总面积。

1.4 边界条件

图3为柱柔性嵌固的支座受力图。其中N′为钢柱外轴力，N0、Q0分别为钢柱x=0截面上的轴力、剪力。

K1—轴向刚度； m1—轴向质量； K2—横向刚度；m2—横向质量； K—转动刚度； J—转动惯量；N′—钢柱外轴力； θ—挠曲线上一点切线与x轴的夹角；N0、Q0—钢柱x=0截面上的轴力、剪力。图3 钢柱边界支座受力图

根据平衡条件得到运动方程边界条件如下。

对于柔性嵌固端，有

(12)

对于固支端，有

(13)

2 钢柱抗爆模型的求解方法

2.1 离散方法

钢柱在变形过程中，响应结果可通过空间坐标与时间变量来表达。为了求解运动方程，得到钢柱的响应过程，需要对运动方程中变量进行离散处理。在空间轴上，将柱子沿长度方向平均分n个单元，如图4所示，在时间轴上的离散形式采用中心差分法。

n—柱单元数。图4 钢柱长度方向的离散图

(14)

式中：v为位移变量；i为不同的时间点。

将柱子的轴向、侧向位移变量u、w代入式(14)，并变换后可得柱子长度方向离散点k点的下一时刻位移方程为

(15)

2.2 求解算法

在时间轴上采用中心差分法求解钢柱的运动方程时，由式(15)并根据初始条件可求得钢柱内部各点的下一时刻位移，然后根据几何方程、运动方程和材料模型可求得此时钢柱各单元的加速度，再由式(15)求得下一时刻位移，重复依次计算，就可求得钢柱的全过程动力响应。

在柔性嵌固端的边界条件处理上，对该处微段的运动式(3)采用一阶差分形式，有

(16)

由方程(12)、(16)可得

(17)

对于柔性嵌固端边界节点的位移，由中心差分法并利用式(17)求得下一时刻的位移为

(18)

同理，柔性嵌固端边界节点转角θ0的位移递推公式为

(19)

为了满足边界条件，必须使由式(6)、(19)得出的柔性嵌固端边界节点转角θ0相等。

2.3 计算步骤

钢柱运动方程的数值计算流程如图5所示。

u、w—为微元体在x、z轴方向上的位移； Δs—柱段变形后长度； θ—挠曲线上一点切线与x轴的夹角； φ—曲率；ε—应变； M、N、Q—截面弯矩、轴力和剪力； ü其中t为时间；钢柱长度方向离散点；i—时间点。图5 钢柱运动方程数值计算流程图

在数值求解过程中，为了保证计算收敛，同时保证结果具有足够的精度，计算过程中的时间步长Δt应满足条件

(20)

3 验证

以下通过对爆炸作用下钢柱的响应进行对比分析，验证数值结果的可靠性。设计模型钢框架的层高为3 m，跨度为4.5 m，梁柱为工字型钢，如图6所示。受爆钢柱的端部集中力F通过均布荷载q计算得到；爆炸荷载为简化的下降三角形荷载，并均布作用于柱一侧翼缘，各梁柱尺寸和荷载工况见表1。对于独立钢柱，其柱底端固支，柱上端部约束条件可参考文献[13]中的计算结果。在LS-DYNA程序中，采用梁单元模拟钢柱，钢材考虑应变率效应，在差分法计算时，将钢材屈服应力乘以动力放大系数1.2，近似考虑其应变率效应。

图6 整体框架模型

表1 爆炸荷载工况

3.1 与单根钢柱的对比

在工况1的条件下，计算不考虑钢柱的竖向力F的作用，在此条件下钢柱动力响应的计算结果如图7所示。由图可以看出，本文中提出的差分计算法的计算结果与采用LS-DYNA程序的有限元计算结果相近，差分计算法可以较好地计算爆炸荷载下钢柱的最大响应。

3.2 与整体框架的对比

(a)柱端横向位移(b)柱中横向位移图7 工况1条件下的钢柱动力响应计算结果(无轴力)

在工况2的条件下，以图6的整体框架和本文中提出的差分计算方法求得的柱子响应对比结果如图8所示。由图可知，用有限差分计算方法求解的钢柱响应与钢柱在整体框架中的响应基本吻合，但动力响应的时间有一定差别，如果只关注爆炸荷载下钢柱动力响应的最大值，而忽略其响应过程，则差分计算方法可较好地计算钢柱响应的最大值。