抓本质 巧对接 促想象

周金友

摘  要：综合与实践旨在沟通联系、突出综合、强化实践等作用。本文结合“正方体染色问题”，从学生学的角度出发，抓住本质对学习内容进行深度加工，通过自主活动实现经验与新知的有效对接，建构知识，在运用中自觉地进行迁移应用，促进想象，从而达成深度学习和提升学生数学素养的目的。

关键词：综合实践;拓展;染色问题

“综合与实践”是课程改革后新增的一个领域，承载着沟通联系、突出综合、强化实践等数学教学理念。作为“综合型”课程，“综合与实践”注重知识的整体关联和综合运用，侧重于让学生在宽泛的视野中感受到知识的价值，有利于学生创造品质和实践能力的培养。笔者借助人教版五年级下册的“探究图形”中的正方体涂色问题，抓住内容本质进行深度加工，通过学生自主活动巧妙地实现经验与新知相互转化，运用中学生自觉地进行迁移与联想，落实综合实践内容的目标。现介绍如下：

一、课堂情境再现

片段一：动态演示，导入新知

1. 师：这是一个点，现在让它变一变，再变，继续变！变成了什么？你们已经知道了正方体的哪些知识？（图1）

2. 你们知道了正方体的特征与三种量，真多！现在老师给它的表面涂满红色，如图切开，你们又想到了什么？（图2）

3. 你们想到的这些就是数学中的正方体的染色问题（出示课题），今天我们就一起来研究正方体的染色问题。

【设计意图：课一开始，以点、线、面、体的动态演示，沟通几何体各要素之间的联系，并能引发学生从运动变化的角度去观察现象和思考问题，为学生理解和解决“正方体涂色规律”的问题做好孕伏。通过“你们已经知道了哪些知识？”与“又想到了什么？”两个问题，了解、诊断学生的现实起点，又为新知的学习做好知识经验与学习心向等多方面的准备。】

片段二：动手操作，发现本质

1. 学生活动（活动单见图3）。

2. 反馈交流。

师：我们先来汇报各种涂色小正方体的个数，你们是怎么找到的？（出示作品的学生介绍）

生1：3面涂色的小正方体在顶点，2面涂色的小正方体在棱上，1面涂色的小正方体在面上。

生2：2面涂色的小正方体在棱中间。

生3：1面涂色的小正方体在面中间。

师：3面涂色的小正方体在顶点大家意见一致，但2面涂色的有两种观点——棱上和棱中间，你们认为哪种观点正确并说理由。

师：是呀！棱上包括顶点的两个小正方体，因此准确地说，应该是棱中间。那1面涂色的呢？0面呢？怎么想到的？（结合学生想象，课件直观演示呈现）

师：大家善于观察，通过操作发现了小正方体涂色面数不同是因为它们所在的什么不同？（板书：位置）面中间的小正方体是1面涂色，这点老师也同意，但在顶点的小正方体为什么3面涂色？（顶点是3面的交点，有3面露在外面）同意！那棱中间呢？原来它们几面涂色是源于顶点、棱的意义。现在请大家闭眼想一想，什么位置的小正方体分别是几面涂色（教师说涂色面数，学生口答位置）。

【设计意图：皮亚杰曾说过，“儿童智慧的鲜花是开放在手指尖上的”。根据学生的年龄特征与思维水平，在自然生成学习内容背景下设计了“涂一涂、填一填、想一想”的挑战性活动任务（一），通过动手操作让学生自觉地唤醒、运用已有正方体的知识经验，感知各類涂色正方体与位置间的关系，建立良好的认知表象。交流过程中，通过教师追问，引领学生从构成要素顶点、棱意义的知识源头进行自然链接，从本质上理解正方体的涂色面数问题，做到“知其然，更知其所以然”，实现有意义的学习。】

片段三：归纳推理，探究方法

1. 活动（二）：现在有一个正方体的表面涂满红色，如图切开。求3面、2面、1面涂色的小正方体各有多少个？（若有困难，在图上涂一涂）（图4）

（1）学生活动。

（2）反馈交流：达成方法的统一和思路的理解。

（3）师：观察这个正方体中2面、1面、0面涂色的小正方体个数的求法，你们发现有什么相同之处？

2. （1）现在将这个正方体的棱长变短为4×4×4（出示图形），每类涂色小正方体又各有多少个？如果正方体的棱长变长为6×6×6呢？

（2）如果大正方体中小正方体的数量是（   ）×（   ）×（   ），你们能在括号里任意填一个自然数表示大正方体的棱长，并求出每一类涂色小正方体的个数吗？

活动板书见表1。

3. 观察这些正方体的各面涂色的小正方体的个数或求法，你们发现了什么？

师：大家观察得真仔细！你们发现了位置与方法的联系，还有它们思路上的相同点都是要先求出棱中间的小正方体个数。3面涂色的小正方体都在顶点，所以有8个，而2面、1面、0面涂色的小正方体的求法分别与棱长总和、表面积、体积的求法相同。

【设计意图：“有比较，才有鉴别”。比较是认识一切事物的基础，在学生弄清各类涂色小正方体的位置后，将情境切换到“棱长是5厘米的正方体”中，学生面临着数量上从“少”到“多”，策略上由“数”到“聚”的状态。通过任务二的独立尝试、成果展示、交流碰撞，学生发现并初步理解了各类涂色小正方体个数的求法。棱长从5变成4与6，以及学生自填棱长并求各类涂色小正方体的个数，逐步强化与理解了求法，又为归纳做好了材料方面的准备。最后对材料进行观察与交流，在比较中找到联系，实现求法与已有三种量的顺利对接，实现主动建构。】

片段四：用中求变，由薄变厚

1. （1）一个棱长是4厘米的正方体积木表面涂满红色，现在切成棱长为1厘米的小正方体。请问2面涂色与1面涂色的小正方体各有多少个？

（2）一个棱长是7厘米的正方体积木表面涂满红色，现在切成棱长为1厘米的小正方体。请问没有涂色的小正方体有多少个？

2. （1）把一个正方体积木表面涂满红色，再在每条棱长上等距离切5刀。请问1面涂色的小正方体有多少个？

（2）把一个正方体积木表面涂满红色，已知2面涂色的小正方体有48个。请问至少1面涂色的小正方体有多少个？

校对后教师将第一组练习的第（2）题的第一个条件依次改为：①现在在它的棱长上等距离切6刀;②2面涂色的小正方体有60个;③1面涂色的小正方体有150个，大家分别可以知道什么？结果发现都可以求出棱中间的小正方体个数。由此引出第二组练习，在对比中发现并理解1面涂色与至少1面涂色的区别及求法以及审题时的注意点。

【设计意图：巩固环节安排了两组精简的练习，第一组基本题运用、检测、内化求法;由第二题已知条件的多角度变异，帮助学生丰富由薄到厚的经历，同时通过“不变”的寻找，让学生跳出具体的细节，从整体上抓住关键，把握思路，形成策略。第二组提高题的跟进与题组的设计，在比较中区分“1面涂色”与“至少1面涂色”的区别以及对后者两种方法的讨论交流，让学生在元认知层面得到提高。】

片段五：合理想象，拓展提升

师：研究了正方体的染色问题，大家有哪些收获或明白了什么？由位置“聯”到涂色面数与具体的求法，此时大家继续“想”，根据正方体的染色问题能想到什么？

生1：长方体的染色问题。

师：多好的想法！老师这里有一个长、宽、高分别是6、5、4的长方体，你们又可以想到什么？

……

师：真了不起！将正方体的染色问题的方法与思路自觉地运用到长方体中。老师也想到一个问题，到目前为止我们讨论的染色问题中最多只有3面涂色，会不会出现4面涂色、5面涂色与6面涂色呢？不用急着下结论，请大家在脑中想一想，也可以同桌轻声交流。

生1：我想到2×2×1的长方体中有四面涂色。（等其他学生想象后，师生一起画图验证）

师：你的想象力太丰富了，帮大家指明了方向，也解答了疑惑，谢谢你！

生2：2×1×1的长方体中有五面涂色。（画图验证）

师：大家顺着他的思路想象一下，还有没有5面与4面涂色的？这时学生想到了3×1×1，4×1×1，……

师（小结）：此时老师想到一句广告语——“一切皆有可能”，同时也将伟大的科学家爱因斯坦的一句名言送给大家——“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力是无限的”。希望大家在今后的数学学习中，插上想象的翅膀，遨游在数学王国中，享受数学的思维盛宴！

【设计意图：课尾结合学生的总结概括，教师点出主题，由位置“联”到方法，继而由学生“想”到长方体的涂色问题，并将正方体涂色问题的视角、方法与活动经验迁移到长方体涂色问题中，深化、活化知识方法。同时，由“有无4面涂色、5面涂色的小正方体”问题的思考与想象，打开学生的想象空间，培养学生的空间想象能力，发展学生的空间观念。最后引用爱因斯坦的名言做总结，感悟想象的重要性并激励学生在学习中要善于想象，将其内化于学生的生命感悟之中，以达到“画龙点眼”之效。】

二、课后教学感悟

1. 抓本质，对学习内容进行深度加工

长方体、正方体的基本构成要素是点、线、面，它们相互依托构成“体”并呈现“体”的数学特征，这些特征同时决定了棱长总和、表面积、体积等数学要素的衍生，可谓“本质”之源。正方体的涂色问题也不例外，它的探讨涉及正方体的构成要素与相关量的计算方法。从知识特征分析，3面、2面、1面再到没有涂色，各种立方体的所在位置与正方体的各要素密切相关，数量求法与三种量的求法紧密吻合，数量规律呈现出较为明显的一维到三维的“梯次难度”，这种现象与整个“空间与图形”知识的编排相对应。基于以上分析，抓住涂色问题与“体”的内在本质联系，对学习内容进行深度加工，设计结构性材料，有序、递进的活动任务让学生去把握过程：或是“质疑”“探究”，或是“归纳”“演绎”，或是“比较”“情境体验”等。正因丰富了学生亲历过程的“源头之水”，才能真正开拓他们头脑中的“思维之渠”。

2. 巧对接，对经验与新知进行相互转化

布鲁纳说：“掌握事物的结构，就是以允许许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它。简单地说，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”教学中，通过活动（一）的动手操作，实现不同涂色面数的小正方体位置与正方体点、线、面、体各要素的对接，发现本质。由活动（二）的尝试探究，达成不同涂色面数小正方体数量的求法与正方体三种量的求法的对接，实现由归纳到演绎的深度理解。此外，练习运用中进行适度的变式，总结中的师生质疑，丰富了学生的经历，促成了多角度、多方位的对接，不断让学生的已有经验与新经验（知识）之间建立联系、相互转化，从而使学生与知识建立意义关联，促成深度学习的发生。

3. 促想象，对学习方法进行迁移应用

学贵在用，通过迁移与应用将所学知识转化为学生的综合应用能力。教学中，研究正方体的涂色问题后，教师引发学生以此为逻辑起点展开联想：其一，学生自觉地想到长方体的涂色问题，并且顺利地运用正方体涂色问题的结构性观点与思维方式去思考、分析、解决长方体的涂色问题，学以致用，使知识方法呈现活性。其二，让学生联想到涂色问题的4面涂色、5面涂色等特殊情况，使学生从整体上把握结构，系统地理解与掌握涂色问题，同时发展学生的空间想象能力与全面分析问题的能力。

总之，涂色问题作为综合型课程的内容，以问题为载体，联系学生已有的知识结构，设计提供有价值的、富有挑战性的数学问题，让学生在教师的引导下自主参与学习活动，引发学生数学认知的联化、简化与深化，让学生积累了数学活动经验，进而在轻松、互助的氛围中实现深度学习，提升学生的数学核心素养。