对一道几何综合题的突破与探讨

朱莉

[摘  要] 几何与函数是初中数学的重点内容，而在实际考查时常从知识综合的角度命题，几何综合中函数解析式的求解是较为经典的问题，该类题的突破不仅需要具备相应的基础知识，还需要掌握一定的构建策略. 文章对一道几何综合题开展解法探究，并深入探讨几何中函数解析式的构建策略，与读者交流学习.

[关键词] 几何;综合;函数;解析式;三角形相似;勾股定理

对一道几何综合题的思路突破

问题  一直角三角形纸板ABO放置在平面直角坐标系中，三顶点坐标分别为A（ ，0），B（0，1），C（0，0）. 点M是边OA上不与点O和A相重合的一个动点，过点M作AB的垂线，垂足为点N，沿着MN折叠纸板，顶点A的对应点为点A′，设OM=m，折叠后△AMN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.

（1）如图1所示，若点A′与三角形纸板的顶点B重合，试求此时点M的坐标;

（2）如图2所示，若点A′落在坐标系的第二象限，A′M与y轴的交点为C，试求S与m的函数关系式.

解析  本题为一次函数与几何相结合的综合题，以折叠为背景研究相应的几何问题，联立函数性质与几何知识即可求解.

（1）该问设定点A折叠后的重合点为B，分析可知点A关于折痕MN的对称点为点B，点M位于x轴上，因此求点M的坐标只需求线段OM的长即可，而OM属于Rt△MOB的一边，可以利用直角三角形的性质，具体如下.

根据三角形纸板的顶点坐标可知OA= ，OB=1，由OM=m可得AM= -m. 根据折叠性质可证△BMN≌△AMN，所以BM=AM= -m. 在Rt△MOB中使用勾股定理，则有BM2=OB2+OM2，代入可解得m= ，即OM=m= ，所以点M的坐标为 ，0.

（2）该问中点A′落在了第二象限，显然问题（1）中的情形可提炼为临界条件，即点A′落在坐标系的第二象限的限制条件为0

四边形BCMN属于Rt△ABO内的一部分，利用MC和MN来分割图形，即S=S -S -S ，其中S = ·AO·BO= ，S = ·AN·MN，S = ·OM·CO. 而AN=AM·cos∠OAB=  -m，CO=OM·tan∠A′MO= m，所以S =  -m2，S = m2，則S=S -S -S =

评析  上述属于以折叠为背景的几何综合题，题目的两问均是基于折叠落点开展的几何探究. 其中第（2）问求函数解析式是结合了直角坐标系的几何综合题，也是中考对该部分内容的重要考查方式. 上述在求解函数解析式时采用了面积构造的策略，即通过面积割补的方式将问题转化为求规则图形的面积，然后利用面积公式建立起线段变量与面积变量之间的关联.

对函数解析式构造策略的探讨

几何综合中求函数解析式的情形十分常见，能够同时考查学生对几何与函数知识的掌握情况，以及处理综合题的能力. 上述在构建函数解析式时采用的是几何面积构造策略，实际上求几何图形中函数解析式的方法是多种多样的，还可以使用比例线段、勾股定理等方法策略，下面结合实例具体探讨.

1. 构建策略一：应用“比例线段”

在几何综合题中应用“比例线段”建立函数解析式，通常依托的是相关的几何性质或常用模型，例如相似三角形的对应线段比、三角比性质、A字形模型、8字形模型等. 在解析问题时首先根据题干条件来提炼特殊关系或特殊图形，然后从中提炼比例线段，代入几何量建立函数解析式.

例1  如图3所示，△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点O是边AC上的一个动点. 现以点O为圆心作圆，与AB恰好有切点，且切点为D，与OC的交点为点E，再作EP⊥ED，与AB相交于点P，与CB的延长线交于点F，试回答下列问题.

（1）试求证△ADE∽△AEP;

（2）设OA的长为x，AP的长为y，试求y与x的函数解析式.

解析  （1）连接OD，可证∠ODE=∠OED，从而有∠EDA=∠PEA，结合∠A=∠A可证△ADE∽△AEP.

（2）该问求y与x的函数解析式，由于x与y均表示线段长，因此实际上就是求线段之间的关系，图形中存在相似三角形，可以利用相似三角形来建立比例式，从而完成函数解析式的构建.

OD与BC相平行，分析可知△ABC∽△ADO，进而可得 = ，代入线段长可得OD= x，同理可得AD= x. 由（1）问的三角形相似的性质可得 = ，则 = ，即 xy= x2，可解得y= x（x>0），即y与x的函数解析式为y= x，其中x>0.

评析  上述几何综合题的第（2）问求两线段之间的函数解析式，求解时利用几何图形中的“比例线段”完成了构建，即首先求证三角形相似，然后利用相似三角形对应边的性质建立比例式，并结合题干条件确立了变量的取值范围.

构建策略二：应用“勾股定理”

勾股定理可以充分表示直角三角形中三边长的关系，实际上也可用勾股定理来构建几何综合中的函数解析式. 直角三角形的显著特征是其中的一个内角为90°，而在几何综合中还可利用圆的切线、圆周角特性以及垂径定理等来确立直角三角形.

例2  如图4所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AB=2. 点D是边BC上的一个动点，现作AD的垂直平分线，与AB和AC分别相交于点E和F，而EF与AD的交点为点O，先回答下列问题.

（1）设BD=x，AE=y，试求y关于x的函数解析式.

（2）试分析是否存在x，使得四边形AEDF为菱形？若存在，求出x的值;若不存在，请说明理由.

解析  （1）本题目中含有众多的直角三角形，求两个变量x与y的函数关系，可以将其集中到一个直角三角形中，利用直角三角形的勾股定理建立函数解析式.

由于EF是线段AD的中垂线，则AE=DE=y. 在Rt△BDE中，BD=x，BE=2-y，由勾股定理可得BD2+BE2=DE2，即x2+（2-y）2=y2，整理可得y= x2+1. 而在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=2，则BC=  ，分析可知x的取值范围为0

（2）略.

评析  上述考题求解几何综合题中两条线段之间的函数关系，图中的直角三角形是解题突破的基础，其中的勾股定理广泛应用于与线段相关的函数解析式构建，因此在解析该类型问题时需要关注其中的特殊图形，提炼直角，构建模型.

对问题突破的教学思考

上述展示了几何综合中函数解析式的不同求法，实际上是对几何与函数知识的综合应用，在实际解析时需要积累相应的知识基础，同时掌握不同题型的解题策略，下面提出几点教學建议.

1. 剖析问题本质，积累知识基础

几何中函数解析式的求解属于几何与函数的综合问题，从上述三道考题的突破过程来看，运用到了图形提炼、模型构建和数式转化，涉及几何、函数两大模块的知识内容. 上述综合题突破的基础是掌握几何性质和函数解析式等基本内容，因此，在实际教学中需要教师引导学生关注教材的基本内容，强化图形分析、解析式构建等基本技巧，为后续求解综合问题做铺垫.

2. 学习数形结合，深入转化问题

几何图形中求函数的解析式是中学数学的常见问题，该类问题的突破过程一般分为两步：一是分析几何图形，构建相关模型;二是基于问题模型，求解函数解析式. 而数形结合有助于挖掘题目中的隐含条件，获得解题突破口，实现几何问题向代数转化. 教师在教学中可以立足数形结合方法，引导学生体验数形对照、数形转化的解题过程，逐步掌握该方法的解题内涵.

3. 渗透数学思想，提升解题思维

几何综合题的突破过程是基础知识和解题方法的融合，其解题思路是在众多数学思想的指导下完成构建的. 以上述例1为例，通过数形分析提炼出其中的相似三角形，然后利用对应性质构建了比例模型，最后代入条件将问题转化为函数解析式，其中用到了数形结合思想、模型思想和化归转化思想，这些数学思想是解法的精华所在，也是教学中需要重点讲解的内容. 对于学生而言，数学思想较为抽象，教学中可以借助教材内容，例如在函数图像教学中渗透数形结合思想，几何教学中渗透模型思想，使学生感悟思想方法对解题的意义，逐步提升学生的解题思维.

写在最后

对于几何综合中的函数解析式问题，需要根据问题条件和图形特点来选取合理的构建策略，充分利用数形结合的分析方法，挖掘隐含条件，构建几何关联. 教学中需引导学生强化基础知识，构建完善的知识体系，掌握相应的解题策略，逐步提升整体素养.