一类变系数非线性扩散方程的直接间断有限元分析①

陈亚飞, 郑云英

(淮北师范大学数学科学学院,安徽 淮北 235000 )

0 引 言

在实际工程和科学应用中很多问题都能建立反应扩散方程来解决,对于反应扩散方程问题的数值求解,国内外学者都进行了大量研究.L. Chen和Y. Chen[1]分析了具有不连续扩散系数的非线性反应扩散方程的双网格法；Anistratov等[2]针对非线性反应扩散方程构造了一种间断-差分流线扩散法；张荣培[3]研究了非线性反应扩散方程的直接间断Galerkin有限元法.基于高斯积分点构造了有限元空间的基函数,通过求解广义黎曼问题得到数值通量.本文直接在间断点处引入数值通量,将有利于构造更为高效的高阶DDG计算方法.

1 预备知识

Y. Wong等人[4]讨论了种群在有限空间、资源下的增长问题,并运用Fisher-KPP方程

ut=Δu+f(u)

系统的研究了生物遗传基因的传播和演化,用该方程的行波解解释了单种群动物在一维无穷栖息地上优良突变基因的传播过程,其中x∈R,f(u)=u(1-u),u表示种群密度,Δu是扩散项,表示个体的大量转移,非线性项f(u)则表示种群一定的活动规则.基于此问题,本文考虑如下形式的变系数扩散方程问题：

ut=a(x,t,u)Δu+f(x,t,u)

(1)

初始条件为：u(x,0)=u0(x),边界条件为：

2 直接间断有限元方法

Vh={v:v|Ij∈Pk(Ij),∀Ij∈Γh},

及其范数:

对方程 (1) 在每个单元Ij∈Γh上左右两边同时与试函数χ∈Vh作内积,得

(∂tu,χ)Ij=(a(x,t,u)Δu,χ)Ij+(f,χ)Ij,

分部积分后,得到弱形式如下:

(∂tu,χ)Ij=-(a(x,t,u)Δu,χ)Ij+

(2)

引入跃度得

(3)

(f(x,tn,u(x,tn)),χ)Ω

(4)

(5)

其中数值流量为[5]:

3 误差分析

本节分析反应扩散方程DDG方法的收敛性.为方便起见,引入如下几个概念,设un∈H2(Ω),n=1,2,…,N,H2(Γh)={u:u|Ij∈H2(Ij),∀Ij∈Γh},定义范数[5]:

引理2.1[6]设Ihu为u的插值,插值算子Ih:H2(Ij)→P1(Ij),满足

则

‖Ihu-u‖IjCh2‖u‖2, Ij,‖Δ(Ihu-u)‖Ij

定理2.2设u∈L2([0,T];H2(Ω))是(1)的解,uh满足(5),且ut∈L2([0,T];H1(Ω)),则有如下误差估计:

证明:用(4)式减去(5)式,得

(6)

记:

整理得

κ1+κ2+κ3+{κ4}+{κ5}+{κ6}+{κ7}

(7)

以下讨论中C为正常数,且在不同的地方代表不同的数值,令χ=δn,左端项运用强制性定理[5]有

对于κ1,∀ε>0,∃L>0,由f(x,t,u)关于u满足利普希茨条件,有

对于κ2,有

对于κ3,将un+1和un-1在un处泰勒展开有

对(7)中{}的每一项只在单元Ij内证明即可.对κ4在单元Ij中有如下估计

|(a(un)Δ(un-Ihu),Δχ)Ij|

对κ5由a(u)的有界性可得

|(a(un)Δ(Ihu-Ihun),Δχ)Ij|

对κ6在单元Ij中证明,因为Δu∈L([0,T];L(Ω)),则

因Δu∈L([0,T];L(Ω)),则κ7估计如下:

将有

对上式两边同乘以4Δt,再对n=0,1,…,N-1,N求和,有

由离散的Gronwall不等式[6]得最终误差估计.

4 结 语

本文严格地证明了中心差分/直接间断方法对变系数扩散方程在通过构造任意阶数值通量的情况下,数值解不仅具有最优的误差估计,还具有最优L2误差估计; 该方法有间断有限元法所保持的局部物理量守恒,还易于处理复杂区域和各种区域,不需要引入辅助变量,对高维问题也减少了计算量.