《抽象代数》与大学数学课程

李浏兰，周立君

（衡阳师范学院 数学与统计学院，湖南 衡阳 421002）

地方师范院校由于受生源质量、师资水平等各方面条件的限制，数学专业毕业生主要去地方中小学担任数学教师，所以很多数学专业学生对大学数学课程的重要性认识不够，抱着应付过关的态度，对每门专业数学课程的学习都是 “蜻蜓点水” 浅尝辄止，对各门数学课程之间的联系鲜少思考，这导致学生所学的大学数学知识是零散的，孤立的。但是，数学专业的数学课程是一个完整的体系，互相之间联系紧密，学生不仅要掌握每门专业课程，更要思考和掌握各门课程之间的联系，这样才能真正掌握数学学科的基本理论、基本知识与基本方法，才能运用所学的数学知识解决实际问题。

《抽象代数》被认为是大学数学的新 “三基” 之一，它研究群、环、域等代数体系，是经典代数知识的抽象和深化，具有严密的逻辑性和高度的抽象概括性，学生必须跟上教师的授课进度消化每节课的内容并将已学的知识点连贯起来，才能理解后续的教学内容。由于授课学时有限，每节课的授课内容多，教师在课堂上一般按照例子、定义、定理的模式讲解，学生被动地接受知识灌输；很多同学对于该课程的重要性认识不够，甚至认为该课程 “无用” ，课程内容又抽象难懂，因此学习该课程时不积极主动，甚至有厌学情绪，不仅没法掌握基本的知识与方法，更谈不上利用抽象代数的相关知识和方法解决实际问题。

事实上，抽象代数不仅能培养学生的抽象思维能力，更为解决很多实际问题提供了方法。比如，伽罗瓦在1832 年运用 “群” 的概念彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。此外，抽象代数还与其它的数学专业课程联系紧密，或为其它课程提供了理论基础，或者其它一些课程可提供抽象代数的具体例子，而抽象代数的相关概念是这些例子的高度抽象，比如高等代数知识为《抽象代数》提供了很多具体的模型[1]。因此，要充分挖掘该课程的重要意义及其与其它数学课程的联系，利用第二课堂和课堂教学时间见缝插针帮助学生理解、巩固所学知识。本文将从具体的实例入手，帮助学生充分认识《抽象代数》的重要性，分析《抽象代数》与《复变函数》《实变函数》等课程之间的联系，进一步理解抽象代数理论。

1 《抽象代数》有助于理解一些普遍规律的意义

1.1 结合律与交换律

众所周知，通常的整数集、有理数集、实数集、复数集等集合上的加法运算和乘法运算都满足结合律和交换律；通过学习抽象代数的结合律、交换律等运算规律，学生可知：加（乘）法同时满足交换律和结合律，使得多个数的连加（乘）有意义且不需要考虑计算顺序，这就有了七年级数学教材中的两段话：（1）有理数的加法满足交换律与结合律……，这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加；（2） 根据乘法结合律与交换律，三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，也可以先把其中的几个数相乘[2-3]。七年级数学教材先介绍有理数的加（乘）法满足交换律与结合律，最后再陈述其意义，但是中间没有任何解释和说明性的过渡语句，中学数学教师由于自身对抽象代数的学习不深刻，本身并没真正理解结合律与交换律的意义，所以讲解的时候一般都是一句话带过，学生并不能真正理解结合律与交换律的意义。如果数学专业的学生在学习抽象代数时能很好地掌握结合律和交换律的意义，毕业后走上工作岗位，作为一名中学数学教师就能让学生不仅 “知其然” ，掌握乘法与加法运算的结合律与交换律，而且能让学生 “知其所以然” ，理解加（乘）法满足结合律与交换律的重要意义；接着，当学生接触有理数的减法或除法时，教师可通过具体例子让学生知道有理数的减（除）法既不满足交换律，也不满足结合律，所以三个或三个以上的有理数的做减（除）法运算必须加括号，括号的位置不同结果也不同，让学生再次折服结合律与交换律的重要性。

此外，集合的交（并）运算同时满足交换律和结合律，同理，通过学习抽象代数的交换律与结合律我们可知：多个集合的交（并）有意义且不用考虑运算顺序，使得在《实变函数》中引入有限个集合、可数个集合、集族的交（并）自然而合理，在表示有限个集合、可数个集合、集族的交（并）时不需要考虑顺序[4]。

1.2 除数不能为零

中小学阶段我们学习除法、分数、分式时，要求被除数不能为零，要求分母不能为零，书上和中学数学教师一般都是简单地说除数（分母）为零没有意义，很多中学生只是记住这个要求，没有真正理解它。事实上，抽象代数中关于域的概念要求：所有不为零的元素关于乘法都有逆元，设元素a不为零，则存在a关于乘法的逆元a-1使得aa-1=1。除法中求a÷b=x，实际上是寻找x使得a=bx，如果a≠0,b=0，这是不可能的，因为零元与任何元素相乘为零元；如果a=b=0，则x可为任意元素；综合上述两种情形，所以除数不能为零。

1.3 消去律

在中学解方程时，我们一般要对方程进行变形：方程的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式；方程的两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数，这样变形后方程的解保持不变。初中教材是通过利用天平加减砝码或扩大（缩小）砝码来让学生直观理解。其实，这利用的是加法的消去律和非零数集关于乘法的消去律。通过学习群的知识，我们知道群关于其上的运算满足消去律，而中学阶段涉及的整数集、有理数集、实数集、复数集都关于加法是群，涉及的多项式、整式关于多项式的加法也构成群，所以关于加法满足消去律：等式两边同时加上一个数（整式），所得结果还是等式；减去一个数实际上是加上这个数（整式）关于加法的逆元，所以还是加上一个数（整式），所得结果仍然是等式。但是，含有零元的数集并不是群，有理数集、实数集、复数集等集合去掉零后关于乘法才是群，才能满足消去律，所以在方程两边乘以（除以）不为零的数，方程的解才能不变。值得注意的是：这个地方并没有提及乘以或除以一个不为零的整式，这是由于多项式集合构成环，但不构成域。

在高等代数中，n×n阶实矩阵组成的集合Mn(R)关于矩阵的加法构成群，关于矩阵的加法和乘法构成环，但由于有些n×n阶实矩阵关于矩阵乘法没有逆矩阵，所以Mn(R)中的非零矩阵组成的集合关于矩阵乘法不构成群，这就造成矩阵关于乘法不满足消去律。如果我们只考虑Mn(R)中的可逆矩阵构成的集合，则该集合关于矩阵乘法构成群，所以可利用矩阵乘法解多元线性方程组：只要系数矩阵可逆，则线性方程组Ax=b的解就为x=A-1b, 其中A为n×n阶可逆实矩阵，x和b是n维列向量，这就是利用可逆矩阵集合关于乘法的消去律在方程的两边同时乘以A-1[5-6]。

2 《抽象代数》让我们理解数域的概念

高等代数的很多概念都建立在数域上，比如，定义在实数域上的线性空间，定义在复数域上的线性空间，但从没有说建立在整数域上的线性空间。学习了抽象代数域的概念，我们才能知道：非零整数集关于乘法运算没有逆元，所以整数集关于加法和乘法运算不是一个域，但有理数集、实数集关于加法和乘法运算构成域，从而我们能说有理数域、实数域，但不能说整数域。

我们在学习《复变函数》[7]时，首先学习的就是复数的概念与计算，通过学习《抽象代数》的群、环、域等概念，结合复数的运算知识我们可以很快理解：复数集合C 关于复数的加法和乘法构成域。因为C 关于复数的加法满足封闭性、结合律和交换律， 0 是关于加法运算的单位元，每个复数z 关于加法的逆元是-z ，所以C 关于复数的加法是一个交换群；C 关于复数的乘法满足结合律和交换律，1 是关于乘法运算的单位元，每个非零复数关于乘法有逆元；复数的加法运算和乘法运算满足分配率，所以复数集合C 关于复数的加法和乘法构成域，俗称复数域，所以我们也可以说复数域。

3 其它课程中一些《抽象代数》的模型和例子

《抽象代数》的概念是现实中相关模型的高度抽象和概括，除了教材中的例子，其它数学专业课程中也有很多例子，我们在学习其它课程时碰上这些例子，可以稍微讲解，帮助学生再次回顾相关的《抽象代数》概念，巩固所学的知识，也是所学知识的简单运用。

3.1 《实变函数》中的交换群

我们采用的《实变函数》 教材是《实变函数》[4]，该书的第一节是 “集合及其运算” ，该节介绍了集族和集合的对称差等概念，比如一个非空集合X 的所有子集就构成X上的一个集族F ，则F 关于集合的对称差运算构成交换群：

（1） 显然集族F 关于集合的对称差运算封闭，即对任意的A，B ∈F , A 与B 的对称差为

（2）集合的对称差满足结合律，参见《近世代数基础》[2]中课后习题第4 题。

（3）空集是单位元，即对任意的A ∈F ，

（4）对任意的A ∈F ，它的逆元是它本身，即

（5）集合的对称差满足交换律。

3.2 《实变函数》中的 “等价关系” 模型

《义务教育教科书（数学）》[3]中的定理表明：集合的等价满足（1）自反性，即任一个集合都与其自身等价。

（2）对称性，即集合A 与B 等价，则B 与A等价。

（3）传递性，即集合A 与B 等价，且B 与C等价，则集合A 与C 等价，所以，集合的等价是《抽象代数》中的一个 “等价关系” 。

3.3 《复变函数》中的群模型

故这个集合关于映射的复合构成群[7]。由于映射的复合不满足交换律，所以，这是一个非交换群。

4 《抽象代数》为一些后继课程提供了理论基础

4.1 帮助学生深刻理解可数集和连续统势概念

我们定义：与正整数集合等价的集合是可数集，因此正整数集是可数集，整数集是可数集；利用至多可数个可数集的并还是可数集我们可以证明有理数集ℚ 是可数集[4]。这个时候，如果问同学们：可数集都是等价的吗？很多同学会比较迷茫，还有同学的答案是否定的。但如果我们还记得集合的等价是一个 “等价关系” ，由等价关系的传递性，同学们很快就可知道可数集都是等价的。很多涉及可数集的证明题，如果没有具体说是哪个可数集合，则可以根据需要选择我们熟悉的正整数集、整数集或有理数集等可数集。比如，在证明ℜ 中任一两两不想交的开区间族是至多可数的时，没有采用可数集的定义证明，也不是采用可数集的相关性质定理证明，而是证明这样的开区间族与有理数集的子集等价；在证明ℜ上单调函数的间断点是至多可数集时，我们是证明ℜ 上单调函数的间断点组成的集合与ℜ 中一个两两不想交的开区间族等价。

类似地，我们定义：与闭区间[0 ,1] 等价的集合称为有连续统势，接下来我们证明了任何区间都具有连续统势，实数集具有连续统势，因此，由集合的等价是一个 “等价关系” 可知：所有的区间、实数集都与闭区间[0 ,1] 等价，很多涉及连续统势的证明可根据需要选取熟悉的[0 ,1] 、开区间、实数集等来做，可简化证明，提高解题效率。

4.2 为《实变函数》提供了构造不可测集的方法

《实变函数》 在实数集上定义了一个 “关系” ，两个元素符合关系当且仅当两个元素的差是有理数， 这一关系是等价关系， 对任意的x∈[0 ,1] ，定义

则E(x)是x的等价类子集，因此由抽象代数中等价类的相关知识，我们可知，任意两个E(x),E(y)要么相等，要么两者的交为空集，而且

把所有不同的E(x)找出来，并在每一个这样的E(x)中取一个代表元构成集合E，则我们可证明集合E是不可测集。

从上述的案例中，我们发现：利用《抽象代数》知识可深刻理解结合律、交换律、消去律等一些大家耳熟能详的普遍规律；《抽象代数》与《复变函数》《实变函数》等课程存在着千丝万缕的关系，很多知识点互为基础，互相补充。见微知著，我们可知：大学数学专业课程并不是孤立的，而是紧密联系的，思考、理解和掌握不同课程知识点之间的联系，可以帮助我们更深刻地理解、运用这些知识解决实际问题，从而更能实现人才培养目标。