高中数学圆锥曲线定点问题解题策略

摘 要： 圆锥曲线的定值定点问题作为近些年高考的热点话题之一，该类题型在具体解题前通常无法确定定值、定点的计算结果，这就会对解题造成一定难度。在对该类问题进行解决时，需在点的“变”中找到定值的“不变”，通常会运用特殊的探索法，对定值、定点进行确定，然后转化成有目标、有方向的常规性证明题，以实现问题的解决。本文主要对高中数学的圆锥曲线中的定值、定点问题的解题策略进行探究。

关键词： 高中数学;圆锥曲线;定点;解题策略

新课标中，首次提出专属数学学科的核心素养，其具体包括数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算与数据分析。同时，新课标中的课程教学目标也出现了相应的变化，并从“双基”转变成“四能”与“四基”，从注重学生学习数学的能力提升转变成注重学科素养的有效培养。而圆锥曲线当中的定点、定值问题作为高考考查的热点，其主要指某些图形面积、几何量线段长度、直线斜率、角的度数等大小或代数表达式的数值等与试题当中的相关参数无关，不会因为参数的变化而发生变化，而是个确定值。该类型的试题主要是解答题，其解决的思路主要是从量变过程寻求不变，也就是先通过变量表示出要求的点或量的坐标，并进行推理计算，导出的点或量的坐标与其变量无关。

一、 直线过定点问题

直线过定点的问题，其主要指直线y=kx+b，若b是常数，则存在直线会过定点（0，b）;若b/k是常量，那么直线会过定点（-b/k，0）。其常用的解题思路为：通过特殊值获得定点，注意对定点与变量之间没有关系进行证明，并对式子实施变形整理，通过计算与推理，实现变量消除的结果，以求得定点。对于直线过定点而言，较为常用的就是通过直线点斜式的方程进行证明。

例1：椭圆C方程是： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0），其中点P1（1，1），P2（0，1），P3 -1，  3  2  ，P4 1，  3  2  当中的三点都在椭圆C上。

（1）求取椭圆C方程;

（2）假设直线l不过点P2，且和C相交在A，B两点，如果直线P2A和直线P2B斜率之和为-1，则证明l过定点。

解：（1）依据椭圆具有对称性可知，P1（1，1）与 P4 1，  3  2  两点不能同时位于椭圆上，而P3 -1，  3  2    P4 1，  3  2  两点一定都在椭圆上，由此可知，在椭圆上的三点为P2（0，1），P3 -1，  3  2  ，P4 1，  3  2  ，将其代入到方程C中，可知：b=1， 1 a2 + 3 4 =1a=2。

因此，椭圆C的方程为： x2 4 +y2=1。

（2）设直线P2A与P2B的斜率分别是k1，k2，如果l和x轴垂直，设l=t，根据题设可知t≠0，同时|t|<2，由此可得A，B的坐标为 t，  4-t2  2   t，-  4-t2  2  ，则k1+k2=  4-t2 -2 2t -  4-t2 +2 2t =-1，可得t=2，不满足题设。因此，设l：y=kx+m（m≠1）。将y=kx+m代入到 x2 4 +y2=1中可得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，根据题设可知Δ=16（4k2-m2+1）>0。

设A（x1，y1），B（x2，y2），那么x1+x2=- 8km 4k2+1 ，x1x2= 4m2-4 4k2-1 。

同时，k1+k2=（y1-1）/x1+（y2-1）/x2=（kx1+m-1）/x1+（kx2+m-1）/x2=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）/x1x2

根据题设可知k1+k2=-1，因此，（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0。

即（2k+1）· 4m2-4 4k2-1 +（m-1）· -8km 4k2+1 =0

解得：k=-（m+1）/2。当且仅当m>-1的时候，Δ>0，即l：y=-（m+1）/2x+m，而y+1==-（m+1）/2（x-2），由此可知，直线l恒过定点（2，-1）。

二、 动圆过定点问题

圆锥曲线当中的定点问题一般和圆锥曲线当中的“常数”有直接关系，例如椭圆双半轴的长、焦点坐标、双曲线的实虚轴长等，都可以通过直接计算获得，也可通过“曲线系法”“特殊位置法”进行求解。动圆过定点的问题，如果没给出方程，求解的时候，就需对变化量实施正确的表述，也可通过引进参数，如点坐标、直线斜率、直线截距等对变化量进行表述，然后按照题目设条件，列出相应的关系式，对相应动态的曲线方程进行表示，并将曲线方程转化为f（x，y）+λg（x，y）=0，即λ∈ R 的时候，曲线恒过定点为f（x，y）=0和g（x，y）=0两条直线的交点。

例2：如图可知，椭圆C方程是： x2 4 + y2 3 =1，其左右两个顶点分别是A，B，右准线上有两个动点为M，N，同时，向量AM与向量BN的乘积为0，那么以MN作为直径的圆能否会过定点，如果是，请求取定点坐标;如果不是，请说出理由。

解：由题设可知A（-2，0），B（2，0），其右准线的方程是x=4。

设M（4，m），N（4，n），则AM =（6，m），BN =（2，n）。

由AM ·BN =0可得6×2+mn=0，那么mn=-12。

將MN作为直径的圆的方程则是：（x-4）（x-4）+（y-m）（y-n）=0

即（x-4）2+y2-（m+n）y+mn=0，由此可得：（x-4）2+y2-（m+n）y-12=0

若y=0，则（x-4）2-12=0，即x=4±2 3

因此，将MN作为直径的圆过的定点为（4±2 3 ，0）。

由上可知，在对该类型的试题进行解决时，需注意M，N为右准线上的两个动点，且注重AM ·BN =0的有效利用。动圆是M，N所引起的，因此，通过M，N的坐标对“动因的量”进行表示，由于其涉及两个参数，就会联想到两个参数之间的关系。

三、 求定值问题

定值问题通常是于运动变化过程中寻找出不变量问题，其基本思想就是通过参数对需要解决的问题进行表示，并证明需解决的问题和参数没有关系。该类试题当中，最关键的就是消元的选择方向。对定值有关问题进行解决的时候，通常包含两种思路，即（1）根据符合题意的状况找出特殊状况，并计算出需求取的值。之后，在知道最后的答案的状况下，对所求值和标量之间无关进行证明。例如，在对三角形面积进行计算时，通常是在符合题意的状况下，假设三角形是直角三角形等类似的特殊三角形，对其面积进行計算，然后再进行面积的计算。（2）直接根据题意，对条件进行转化，并计算出求取的值，最后通过化简变形，设求取的值和变量没有关系。

例3：已知曲线C方程是： x2 4 + y2 3 =1，A是曲线C上的一个点，其坐标是（1，3/2），E，F为曲线C的动点，若存有KEF+KAE=0，求证：EF斜率是个常数，且求出该常数的实际值。

解：设直线AE方程是：y=k（x-1）+ 3 2 （k≠0），

由 x2 4 + y2 3 =1与y=k（x-1）+ 3 2 相联立，消去y后可得：

（4k2+3）x2+（12k-8k2）+4  3 2 -k 2-12=0，则可知xE= 4（ 3 2 -k）2-12 （4k2+3）xA = 4k2-12k-3 4k2+3  ①

将式①当中的k替换成-k，可得：xF= 4k2+12k-3 4k2+3  ②

因此，kEF=（yF-yE）/（xF-xE）=-k（xF+xE）+2k/（xF-xE）

将式①，②代入到kEF=（yF-yE）/（xF-xE）=-k（xF+xE）+2k/（xF-xE）当中，可得kEF=1/2，因此，EF斜率是个常数。定值问题主要是在运动与变化过程中找出不变量，其基本思路主要是运用参数对需要解决的问题进行表示，并证明需解决的问题和参数毫无关系。

四、 结语

综上所述，对定点、定值问题进行解决的方式需通过对特殊值、极端位置进行考查，探索出具体“定值”，然后再开展一般性的计算或者证明;另外的方法则是将问题所涉及的几何式转变成三角形式或者代数式，并对该式为恒定的进行证明。如果类似的试题是通过客观题的形式呈现，通常更适用于特殊的方法进行解决。

参考文献：

[1]秦宜菊，杨会.有关圆锥曲线一类定值及定点问题的再研究[J].中学数学教学参考，2019（16）：52-53.

[2]孟弦.圆锥曲线中一类定点问题的探究[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（9）：42-43.

作者简介：

叶伟飞，浙江省临海市，浙江省临海市大田中学。