浅析函数型综合题的解题策略

黄江泉

【摘要】函数型综合题是各地中考试题中最基本、最常见的综合题，它不仅是知识的综合，一道题目中往往综合考查函数、几何等知识，而且是方法的综合，同一道题目往往综合考查初中数学的各种方法。函数型中考综合题的常见解题策略有巧妙转化、合理分类、数形结合、方程为桥等。

【关键词】函数;综合题;解题策略

函数型综合题是各地中考试题中最基本、最常见的综合题，它不仅是知识的综合，一道题目中往往综合考查函数、几何等知识，而且是方法的综合，同一道题目往往综合考查初中数学的各种方法。因此，探索函数型综合题的解题策略，对提高学生的综合解题能力和义务教育质量有着十分重要的意义。

下面结合近年各地中考，具体分析函数型综合题的基本解题策略。

一、巧妙转化，化难为易

转化思想是初中数学最基本的思想，复杂问题向简单问题转化，陌生问题向熟悉问题转化，是数学解题的基本策略和方法。函数型综合题的解题策略更是如此，不仅要善于把问题转化，如面积最大值问题转化为底边（即线段）的最大值问题，周长最小值问题转化为最短路程，全等或相似问题转化为角的相等问题进而转化为边的比问题等;而且要善于把方法转化，如把点的坐标转化为线段的长度，再把线段的长度转化为方程，这些都是解决函数型综合题的基本方法。

例1（2015广西贵港）：如图1，抛物线与轴交于点 和点，与轴交于点C，其对称轴为.

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标.

（2）若动点在第二象限内的抛物线上，动点在对称轴上：

①当，且时，求此时点的坐标.

②当四边形的面积最大时，求四边形面积的最大值及此时点的坐标.

思路分析：问题②的基本思路是把求四边形面积的最大值转化为求一条线段的最大值，即过作轴的平行线与相交所得线段的最大值即可。

例2（2016广西贵港）：如图2，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点.

（1）求该抛物线的解析式.

（2）若点为轴下方抛物线上的一动点，当时，求点的坐标.

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的横坐标;若不存在，请说明理由.

思路分析：問题（3）的基本思路是把角相等的问题转化为线段的比，即过作于，过作轴于，要使，只需要引入点坐标并转化为相关线段的长度代入，即可把问题解决。

例3（2017江苏盐城改编）：如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点.

（1）求抛物线的函数表达式.

（2）点为直线上方抛物线上一动点：

①连接、，设直线交线段于点，△CDE的面积为，△BCE的面积为，求的最大值.

②抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的横坐标;若不存在，请说明理由.

思路分析：问题（2）①中，△CDE和△BCE是等高三角形，因而首先要把面积比转化为对应底边的比，即，观察发现，过作轴的平行线交于，则为定值，故想到过作轴的平行线交于，则;于是，求的最大值就转化成了求DM的最大值了，这就是我们比较熟悉的问题了。

在（2）②中，要使得，过作轴的平行线交抛物线于，则，故只要，就有.设点坐标为，则问题转化为，问题即可解决。

解题中，能否一步步实现这样的转化，就是解题的突破口和关键了。

二、合理分类，逐一击破

分类讨论思想也是初中数学最重要的思想，很多问题都同时存在多个不同的情况，这个时候就要对各种情况进行分类并逐类解决，才能得出问题的全部结果。很多函数型综合题都包含多个未知情况，因此，分类讨论是解决函数型综合题的关键。

如例3中，“△BCD是直角三角形”就有三种情况：或或，只有进行分类讨论、排除，才能得出正确、完整的答案。

例4（2018广西贵港）：如图4，已知二次函数的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点.

（1）求这个二次函数的表达式.

（2）若是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，轴于点，与交于点，连接.

①求线段的最大值.

②当△PCM是以为一腰的等腰三角形时，求点的坐标.

思路分析：问题（2）②中，“△PCM是以为一腰的等腰三角形”包含了两种情况：和，如果不进行分类讨论，就无法得出结果。

例5（2019广西贵港）：如图5，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点.

（1）求抛物线的表达式.

（2）写出点的坐标并求直线的表达式.

（3）设动点、分别在抛物线和对称轴上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求、两点的坐标.

思路分析：问题（3）中，“以、、、为顶点的四边形是平行四边形”也有两种可能：是平行四边形的一条边和是平行四边形的对角线，必须进行分类讨论。

三、数形结合，避繁就简

数形结合是在解决数学问题的过程中，把图形性质转化成数量关系或者把数量关系用图形的性质来表示，使问题更简单更直观，以利于问题的解决。数形结合往往可以将问题简单化，因而是解决函数型综合题的重要桥梁。

如例2中，在求的长度时，充分运用图中隐含的等腰直角三角形的性质就比较简单。

例4中，在求的长度时，固然可以用代数方法解决：先设点坐标为，然后求出的解析式，再求出点坐标，进而求出。但充分利用图中的几何性质，问题就会更简单。事实上，△BOC是等腰直角三角形，因而，而，这样求就更简单了。

例5中，当是平行四边形的一条边时有，但如果直接用这个条件列方程解决，问题就比较复杂;而充分利用图形平移的性质来考虑，点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，同样，点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，即，，这样问题就简单了。

例6（2013四川）：如图6，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过、、三点，直线与抛物线交于另一点.

（1）求这条抛物线的解析式.

（2）为抛物线上一动点，为直线上一动点，是否存在点，使以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点的坐标;若不存在，请说明理由.

思路分析：问题（2）中，充分运用特殊图形的性质，问题也异常简单。先分类，当为直角顶点时，设与轴交于，则△AOF为等腰直角三角形，故点坐标为，的解析式为，联合方程组即可求得点坐标;当为直角顶点时，则，此时只能与重合;当为直角顶点时，很容易看出也只能与重合。

【参考文献】

冯玺.挖掘数学本质 凸显育人价值——对近年宁夏中考试卷中二次函数综合题的几点思考[J] .初中数学教与学，2018（16）：34-36.

余丽，朱昌宝.中考二次函数综合题赏析[J] .数理化学习（初中版），2007（11）：28-30.