数学课堂：让思维有迹可循

杨黎琴

摘要：“数学教学要充分暴露思维过程。”只有充分暴露思维过程，才能有效促进思维发展。在小学数学教学中，要让内隐的思维外显（有迹可循），从而提升学生的思维品质，可以从提供实物材料、运用示意图形、借助思维导图三个方面入手。

关键词：小学数学 实物材料 示意图形 思维导图

“数学是思维的科学。”数学思维水平直接影响数学知识的学习和数学问题的解决。离开思维的知识是“死知识”，既无法理解，也不能运用;离开了思维，问题更是无法得到解决。但是，思维是不可见的。因此，“数学教学要充分暴露思维过程”。只有充分暴露思维过程，才能有效促进思维发展。那么，在小学数学教学中，如何才能让内隐的思维外显（有迹可循），从而提升学生的思维品质呢？基于小学生更擅长的形象思维，笔者认为可以从以下几个方面入手。

一、提供实物材料

布鲁纳的认知表征理论指出，“智慧发展的一般进程是，从动作表征经图像表征而达到符号表征的世界”。因此，在小学数学教学中，教师可以提供学生熟悉的、直观化的、可操作的实物材料（学具），通过展示（观察）、演示（操作），让思维有迹可循，为抽象的概念、原理的学习提供形象的支撑。

例如，教学《认识厘米》一课时，教师让学生通过找一找、比一比、画一画、量一量等活动发现身边1厘米的实物材料，然后进行展示，从而充分感知1厘米的表象。学生发现食指的宽、订书钉的宽、卷笔刀的宽、红丝带的宽、小正方体的边长、小方格的边长等是1厘米。在此基础上，让学生通过看一看、说一说、想一想、估一估等活动建构1厘米的概念，进而学会规范地用直尺来画几厘米的线段。这些鲜活的实物材料以及真实的感知活动，使得学生的思维清晰可见，而且提高了思维的发散性。

再如，教学《分数与除法的关系》一课时，在学生理解了“1张饼的几分之几就是几分之几张饼”的基础上，教师提出问题：“3张饼平均分给4个人，每个人分得多少张饼？”同时，提供实物学具，让学生操作演示，从而直观地得出两种分法（见图1），获得“3张饼的14就是34张”的理解。然后，教师追问：“4张饼平均分给5个人，每个人分得多少张饼？”继续让学生操作演示，从而引导学生一步步地建构分数与除法的关系。随着实物学具的操作演示，学生的思维得以外显，思维的灵活性得到提升。

二、运用示意图形

在数学教学中，不是所有的内容都适合或需要实物展示、演示的。很多时候，教师可以引导学生利用比较简洁的实物图或更加抽象的几何图示意，即把实物画下来或把数量转化成图形，进行图像表征。这样，不仅有利于让学生内隐的思维外显，而且有利于学生进一步形成符号表征——尤其在解题教学中，非常有助于学生理解题意，提炼有用的数量关系。

例如，教学《解决问题的策略——假设》一课，教师利用天平称重示意图（见图2），帮助学生直观理解：已知多个一种未知量的和时，可以利用除法求出该未知量;已知多个两种未知量的和时，求不出这两种未知量。从而激发学生探究：怎样才能求出这两种未知量？进而启发学生想到：需要知道这两种未知量之间的关系。接着，教师出示苏教版教材练习十一第2题：“3辆大货车和4辆小货车共运货30吨，大货车的载重量是小货车的2倍，两种货车的载重量各是多少吨？”学生顺理成章地画出货车运货示意图（见图3），得到了解决问题的策略：根据1辆大货车的载重量等于2辆小货车的载重量，假设都是大货车或都是小货车来运30吨货。之后，教师给出图3中后一种情形下两种未知量之间的关系：“1苹果=3梨”。学生解决问题时，不仅画出了实物图（见图4），而且进一步抽象画出了线段图（见图5）。由此，学生暴露出思维过程，得到了可以求解的数量关系（符号表征）。

三、借助思维导图

相对而言，认知表征方式的三种方式，更多地局限于呈现静态、孤立的思维结果。要更好地呈现动态、联系的思维过程和知识体系，从而真正激活思维应用，打通认知结构，就需要借助思维导图。思维导图是思维可视化的重要工具，它与大脑处理事物的自然方式相一致。它最重要的特征不是“图”——实际上它是图文并茂的，而是“导”——呈现出动态的过程和相互的联系，故可以分为“流程导图”和“关系导图”两类。它不仅可以促进学生的思维发展，而且可以提升学生的知识记忆。

例如，教学《分数乘法》新授课时，教师出示问题：“李大伯家有一块1/2公顷的菜地，其中1/4用来種土豆，3/4用来种玉米，用来种土豆的菜地有多少公顷？用来种玉米的菜地有多少公顷？”学生尝试解答后，教师引导学生利用如图6所示的“流程导图”把快速滑过的思维过程像“慢镜头”一样呈现出来，从而帮助学生理解分数乘法的意义，挖掘分数乘法的算理，并且提高思维的严密性。

再如，教学《分数乘法》单元的复习课时，教师从算法、算理、应用等方面入手，利用如图7所示的“关系导图”帮助学生掌握知识点之间的联系与区别，回顾学习时的思维过程，总结本单元的知识体系。然后，又引导学生针对其中的一些知识点进一步绘制更翔实的“关系导图”，让学生的思维有迹可循，思维的灵活性得到提升，所学的知识更加系统化。图8便是学生绘制的一个“关系导图”。

参考文献：

[1] 单尊.数学是思维的科学[J].数学通报，2001（6）.

[2] 张乃达.充分暴露数学思维过程是数学教学的指导原则[J].数学通报，1987（3）.

[3] M.P.德里斯科尔.学习心理学——面向教学的取向（第三版）[M].王小明，等译.上海：华东师范大学出版社，2008.

[4] 约翰·哈蒂.可见的学习（教师版）[M].金莺莲，洪超，裴新宁，译.北京：教育科学出版社，2015.

[5] 陈花.“感受数形结合思想的内在力量”的实践与思考[J].教育界，2015（34）.