数学学习信息应从“表面化”走向“数学化”

曾娴秋

摘要：数学学科的学习信息，应从表面化走向数学化。对《长方形和正方形的面积》一课进行观察与分析，发现教师在处理学习信息的尝试上有缺失：数据分析泛化，归纳类比不够;算式因果简化，数学含义不清;几何直观窄化，推导抽象不达;应用意识淡化，实践感悟不实。教师对学习信息的处理，需重视初始信息、强化过程信息、鼓励“学”的信息。

关键词：学习信息 表面化 数学化 《长方形和正方形的面积》

数学学科的学习信息，可分为表面化信息和数学化信息。表面化信息是指学生对所学内容的表层認知，是在已有知识的基础上对新知识的猜测、推想，是没有经历科学证明的信息。表面化信息亦指教师一教就会、学生一学就对的缺乏思考性的信息。表层认知往往无法深入知识本质，容易遗忘，也难以运用。数学化信息是指，学生对课堂内容从数学的角度去探索，以数学的眼光来审视，用数学的方法研究获得的科学的数学信息。数学化信息体现了数学的实质，它是通过具体情境在客观现实背景中抽象出的数学问题，在构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程中所产生的信息。数学化信息，是学生在充足的时间和空间中，经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程产生的。数学学科的学习信息，应从表面化走向数学化。关于数学学习信息，教学中存在哪些误区？如何改进？我们借助课堂观察展开研究。

一、量表编制与课例确定

学生的学习信息能否从表面化走向数学化，关键在于教师是如何对信息加以干预、处理的。我们将本次课堂观察的主要内容确定为：（1）学生的初始信息;（2）教师如何处理初始信息;（3）如何更好地促使表面化信息数学化。据此，编制观察量表（见下页表1）。

由于处于疫情“停课”阶段，我们回顾了去年Z老师执教的苏教版小学数学三年级下册《长方形和正方形的面积》第一课时（40分钟），找出了当时留存的笔记和录音。根据这些资料，对课堂教学进行汇集、整理、反思。本次课堂观察共有8位教师参与，按不同的学习内容分配观察内容，2位教师为一组，搜集例证，将学生的初始信息以及教师的处理过程记录下来。

二、观察发现与分析

从课堂上的一些例证中我们发现，Z老师努力加工、处理学生的初始信息，做了一些可贵的尝试，但整体上仍存在缺失。下面，围绕课堂所见，逐一分析。

（一）数据分析泛化，归纳类比不够

教师提供了数量充足的小正方形，让学生摆长方形，边摆边在学习单的表格（见表2）中记录相关数据，再次感知小正方形个数与长方形面积之间的关系，探究长方形面积和长与宽的关系。

学生顺利完成任务后，教师指名3位学生回答。教学片段如下：

生（第一位学生）我摆的长方形，它的长是用3个1平方厘米的小正方形摆的，宽是用2个1平方厘米的小正方形摆的。这个长方形用了6个小正方形，面积是6平方厘米。

师你是怎么知道这里有6个小正方形的？

生可以数一数，也可以用长乘宽来计算。

师可以用一个算式来表达吗？

生3×2=6。

生（第二位学生）我这个长方形，宽用了2个边长1厘米的小正方形摆，长用了5个，共有10个，面积是10平方厘米。

师也请你用一个算式来表示。

生5×2=10。

生（第三位学生）我的由7个小正方形组成，长是7厘米，宽是1厘米，面积是7平方厘米。

师小正方形的总个数用算式怎么表达？

（学生思考。）

师（出示表3）比较三组同学摆的长方形，你知道小正方形的总个数可以如何计算吗？

生总个数=长×宽。

师这里的长和宽分别表示什么？

生长表示每排的个数，宽表示有几排。

师小正方形的个数=每排的个数×排数。

生那就不需要一个一个地数了。

师观察数据，你们还有什么发现？

（教师带领学生观察后两列的数据。）

生有多少个小正方形，面积就是多少。

师还有什么发现吗？

生长×宽=长方形的面积。

师（板书：小正方形的个数=每排的个数×排数=长方形的面积）长方形的面积与小正方形的个数相关，与长方形的长和宽有关。

在上述教学中，教师面对学生呈现的表面化信息，做了两次引导：第一次，让学生用算式来表达小正方形的个数;第二次，询问学生有什么发现。这里，教师帮助学生梳理信息，引导学生观察数据、用算式来描述，是将表面化信息转化为数学化信息的一种尝试。

教师根据学生表格中的初始信息，引导学生填写小正方形的个数时，反复让学生列算式表达，旨在让学生明白：可以通过每排的个数乘排数来快速计算，而不需要一个个地数个数。此处，教师力图将学生表面化的数格子转向数学化的简便计算，符合数学学习从具体到抽象的逻辑过程。但是，综观全班学生所摆的情况，由于学生急于摆出简单的长方形，他们使用的小正方形个数并不多，所以，计算的便利未必胜过数一数。我们认为，学生此处的体验并不深刻。那么，何不抛出一个数据较大的长方形呢？这样，“用算式来表达”就不需要教师屡屡提醒了。在我们力图更好地处理初始信息以促使其数学化的过程中，要时刻注重数学学习中的特殊性，选取更有说服力的数据来刺激学生体悟。

（二）算式因果简化，数学含义不清

在上述片段中，我们在未被指名回答的学生中还发现了关于算式位置的不同信息（图1、图2是两个典型示例）。

学生所写的算式位置错误或不明确，这样的学习信息也应该被重视。教师可以组织学生探讨，如算式的意义是什么、写在何处更合适，从而厘清长方形面积公式的推导过程：因为长方形的面积和小正方形的个数有关，个数可以通过每排的个数乘排数来计算，所以，长方形的面积“才可以”用长乘宽来计算。从这几个算式透露的表面化信息来看，教师应当让学生用数学化的语言来表达其背后的意义。

（三）几何直观窄化，推导抽象不达

教师请学生用小正方形来测量两个长方形的面积。在测量第一个长方形的面积时，学生展示了两种方法：

学生展示摆法（如图3），并介绍：“我每排摆了4个，摆了3排，一共有12个小正方形。所以面积是12平方厘米。”在教师的提示下，学生列出算式：4×3=12。

学生展示摆法（如图4），并介绍：“我直接把第一排，也就是长这边摆了4个，又把宽这边摆了3个。一共是12个。”教师“质疑”：“哦，你并没有全部铺满呀！那你怎么知道是12平方厘米？”学生解释：“因为我们可以直接算4×3=12。”“也就是说，你直接想到了这个算式。”

从学生生成的初始信息中，我们能够发现，部分学生对客观世界持谨慎态度，他们相信眼见为实;而部分学生的抽象能力较强，他们在具象操作的过程中，已经知道如何利用数学化的手段进行简化。

我们观察到，教师在处理这些表面化信息时，反复提醒学生用算式来计算。可见，教师迫切希望学生明白：在之后的学习中，我们不能一直用正方形来摆，必须学会通过更简洁的计算来解决问题，需要用数学的方法来解决问题。可是，教师屡次灌输式地“让学生列算式”，并未让学生真正产生用计算的方法来解决问题的内驱力。

那么，如何才能更好地优化这些初始信息呢？不妨尝试让学生对两种方法展开“辩论”，让两种方法的支持者各自说说所支持方法的优势。相信学生通过探讨，会看到第二种方法的简捷性。学生在摆的时候，力图快速、简洁。那么，如果不摆呢？能解决吗？支持第一种方法的学生自然而然地就能理解支持第二种方法的学生所说的“我们可以直接算4×3=12”了。倘若还是有学生固执己见，教师可再呈现一个长和宽的长度都更长的长方形，让其摆一摆，定能激发学生“偷懒”的想法，最终信服。

（四）应用意识淡化，实践感悟不实

当教师问“如果想知道课桌面面积大小，需要什么条件”时，学生回答：“需要1平方分米的正方形，要知道1平方分米的正方形内有多少个1平方厘米的小正方形。”教师认为，1平方分米=100平方厘米并非此题要点，便忽略了这一信息。

教师在遇到信息不知道该如何处理时，应当多给予学生机会，让其具体说说想法。我们之所以问及课桌面面积大小如何测量，是希望学生能够根据具体事物选择相对应的面积单位，明白具体问题具体分析。如果教师能抓住学生这一看似无用的信息，“将计就计”，故意“为难”一下学生，让其用1平方厘米的正方形摆一摆或画一画，学生必然能感受到：选择1平方分米的计量单位更为合适。

三、思考与启示

教师如何对学习信息加以处理，促进其从表面化向数学化迈进？如何避免那些看似专业实则不当的误区呢？结合对本节课的观察，我们有以下思考与启示：

（一）需重视初始信息

教师在备课时，不仅会备学习内容，还经常会预设学生的学习情况。上课时，如果学生的回答“正中下怀”，教师往往不胜欢喜;如果学生的回答差别甚远，教师往往会掉入误区，生搬硬套自己的观点，甚至直接屏蔽学生的初始信息。例如，本节课一开始，教师提问：长方形的面积和什么有关？学生回答：和长与宽有关。此时教师由于只想得到长方形的面积与单位面积小正方形的个数有关，便忽略了这一学习信息，直接进入了预设内容。

重视初始信息的前提是发现初始信息，这就需要教师学会倾听，在倾听的基础上，分析学生对所学内容的思考和理解。真正的倾听，其标志是：教师听后所讲的与学生所述的是息息相关的。在学生回答之后，教师的讲，应该是顺水推舟的“接着说”，而不是另起炉灶的“重新说”。专业的“发现”，是基于学生的想法又能提升学生的想法。

（二）需强化过程信息

在教学中，每节课的每个环节，都会设定目标。例如，本节课中，教师先让学生知晓，要求任意图形的面积只需知道其含有多少个单位面积;再让学生明白，正方形的个数=每排的个数×排数;最后，完善结论：正方形的个数=长方形的面积=长×宽。每一个环节似乎都滴水不漏，层层推进。但整节课，教师扶得太多太细，目标过于清晰，过于想要学生给出这些结果信息。

我们面对的是鲜活的个体，如果把每一个结果都框定了，就无法暴露学生真实的学习信息，尤其是过程信息。学生唯有在不断经历试错、思考、改进、再思考的过程中，才能形成数学化的思维。

（三）需鼓励“学”的信息

很多时候，教师对课堂的原有认知根深蒂固，无法解放学生，习惯了滔滔不绝、不断去“教”。例如，本节课中，在测量长方形的面积时，教师时不时提醒学生用计算的方法来测量。这样的“教”容易说、容易记，却没有发现，学生的记忆始终停留在头脑表层，并不穩固。

我们应当让学生通过比较，自己发现测量方法的优劣。只有自己“学”，用自己分析的证据、依据说服自己，才能从内心认可这种方法，在遇到同类问题时，才会选择这一方法。而教师，应当鼓励学生去“学”，去探索，去感悟。如此，这些“学”来的信息才能达到它的最优值。