例谈均值不等式的破解方法

江苏省石庄高级中学 (226531) 沈世金

应用均值不等式求函数最值时，需要满足“正”“定”“等”三个条件，其中“正”“定”两个条件可通过构造来实现，若等号成立的条件不能取到，则需要另辟解题途径.基于此本文给出破解此类问题的方法.

对于不满足前两个条件的函数最值问题，我们可通过拆项、补项等变形方式，构造出“正”或“定值”的条件，但如果等号成立的条件取不到，就需要重新选择求最值的方法了.

一、例题分析

例1 在下列函数中，y的最小值为4的是( ).

二、解法探究

那么对于选项B、D中的函数，最值该如何求解呢？下面我们就以选项B中的函数为例，给出几种处理办法，供同学们参考.

(1)利用“对号”函数的性质求解.

图1

从形式上来看，“对号”函数与均值不等式之间关系密切，因此当利用均值不等式求最值时，若等号的条件取不到，则可借助“对号”函数性质.

(2)利用几何法求解.

对于分式型函数的值域问题，可利用其与斜率的相似关系，构造直线斜率的形式，进而从形上来寻找思路.

图2

(3)构造二次函数，利用配方法求解

配方法是求函数值域问题的重要方法，若根据所给的函数类型，能够构造出二次函数，则可利用配方法求解.

(4)利用导数法求解

导数法是判断函数单调性，求函数最值的重要方法，特别是较复杂函数的值域问题.

(5)利用方程有解来判断