一道平面向量题解法探究

浙江省丽水中学 (323000) 罗贤旭

平面向量是高中数学的重点与难点，也是高考重要考点之一.纵观浙江省近几年的平面向量题，难度都比较大，是小题当中考察学生数学思维能力的重要题型.笔者将从平面向量的内容分析和解题策略两方面谈一点自己的想法.

向量是近代数学中重要和基本的数学知识之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具，他可以将几何中的全等和平行，相似，垂直，勾股定理转化为向量的加减运算，数乘运算，数量积运算，所以他是沟通代数、几何、三角函数的重要桥梁.向量有三种主要形式：符号形式，坐标形式，几何形式；符号形式与坐标形式反映了向量的数字抽象化，几何形式反映了向量的图形直观.所以解决向量问题可以有代数与几何两个视角.

1.解题策略探究

点评:坐标法是将平面向量数量化的具体形式，简化了向量题分析过程与运算过程，只要建立合理的坐标系，通过坐标运算得到解题结果的过程.所以坐标法是解决向量问题最基本的方法.问题是学生认为只有出现矩形或者垂直这样的图形才可以建系，或者是建系后点的坐标是固定不变的，这种想法是不正确的，其实有很多问题建系后点的坐标参数比较多，但是通过处理完全可以解题.

(ⅰ)|(cosα+2)cosβ+sinαsinβ|≤

4|sinαsinβ|+4|cosαcosβ|≤m2+6，即

图1

点评：平面向量基本定理是将平面向量量化的一种重要手段，他与向量在正交分解下的坐标表示是一脉相承的，而且平面向量基本定理适用的范围更广，是平面向量的精髓.等高线是在平面向量基本定理的理论基础上衍生出的二级结论，是确定这一类动点轨迹的捷径.

图2

解法四：我们对条件的系数进行恰当的处理，

点评：构造系数和为1得到动点轨迹，解法简便，学生容易理解.

点评:很多数学题都是在一些结论的背景下命制的，高中阶段掌握一些二级结论，就会减少推导的过程，简化计算，让解题站在性质或者是结论的肩膀上，解题之路必然能越走越远，越走越深.

2.一点反思

平面向量对学生而言之所以难，是难在向量的本质，向量是自由的，是可以任意移动的，所以动态性很强.在解决动态向量问题的时候，比如转化基底、坐标、投影、等高线、极化恒等式等一些常用的方法要有所储备，而且不同的题型适用什么样的方法是我们需要教给学生的.通过变式教学的形式让学生到达题解的多条航道.向量具备几何与代数的双重身份，做到数中有形，行中有数，才能真正学好向量.课堂教学中对向量问题的解题策略研究有利于培养学生数学思维能力，也是落实数学核心素养的重要途径.