一道平面向量高考题的解法与变式探究

浙江金华第一中学 (321015) 吴贤盛

平面向量是高考命题的基本考点，命题形式一般以选择题与填空题为主，平面向量数量积是命题的重点内容，主要涉及平面向量数量积的运算、模的运算、夹角的运算和与平面向量数量积有关的参数问题.那么这类问题有哪些解法呢？让我们一起来探究2019年的一道高考题.

一、高考真题及解法探究

这是一道求向量夹角的平面向量数量积问题，题面十分简洁，却渗透了数学运算、直观想象的数学核心素养，考查了考生的转化能力.那么解答这道题有哪些思路呢？

思路1：直接利用平面向量的夹角公式.

思路2：通过建立直角坐标系转化为解析几何问题

图1

点评：把向量问题坐标化，就是利用数形结合思想，将平面向量问题转化为坐标运算问题.本题采用坐标法之后大大减少计算量，体现了平面向量的几何意义的灵活应用.

思路3：转化为解三角形问题

点评：由向量的加减法的几何意义，把原问题转化为解三角形问题，也是一条非常有效的解题思路，由此可见“由数思形”，多方联想.

二、变式问题方法再探

图2

点评：向量是“数”与“形”的统一体，为了同时考查向量的“数”、“形”特征，试题往往以向量的数量积背景，考生需要深挖向量数量积的几何意义，找到解题思路，或利用转化思想，将向量的最值问题转化为三角函数的最值问题，以考查考生思维的灵活性.选择不同转化思路，会得到不一样的解法.

以上三个变式再次告诉我们：当数量积问题中给出的题设条件中含有基底向量时，一般采用定义法，这类问题一般难度不大.而当数量积问题的条件中只给出关于几个向量的条件等式时，一般需利用根据向量及其运算的几何意义，利用转化思想转化为其它数学问题来解决.