对数是个万花筒——以同一份试卷中的一类题为例

江苏省苏州市田家炳实验高级中学 (215004) 周 磊

笔者最近给学生布置了一份本地上一届高三期中数学联考的试卷，经过仔细的研究和思考，笔者发现了一个有趣的现象，整份试卷中，填空题的压轴题、解答题的压轴题以及附加题的压轴题不约而同地都涉及到了函数y=lnx的几个不等关系，都与函数y=lnx的图象有关．受此启发，笔者将以这份试卷中的这三个压轴题来谈一下高三解题教学中，如何进行从“有解”到“优解”的教学实践，与同行交流.

1．试题呈现

问题2 (苏州市五市四区高三(上)期中第19题)已知函数f(x)=lnx，g(x)=x2-x-m.

(2)若m=0，求函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,a]上的最大值；

问题3 (苏州市五市四区高三(上)期中第23题)(1)若不等式(x+1)ln(x+1)≥ax对任意x∈[0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；

2.背景初探

结合笔者教学实践，不难发现这三道压轴题都涉及常见的指数或对数函数不等式，具体如下：

不等式2 lnx≤x-1，当且仅当x=1时取等.

不等式2-1ex≥ex，当且仅当x=1时取等.

证明:由不等式lnx≤x-1可知elnx≤ex-1，即ex≥ex.

不等式2-2ex≥x+1，当且仅当x=0时取等.

证明:在不等式lnx≤x-1中，用ex代替x，即lnex≤ex-1，有ex≥x+1.

不等式4 lnx≤x(x-1)，当且仅当x=1时取等.

图1

评注1:上面的几个函数不等式，本质上也可以用函数图象来表达，如图1,即函数y=lnx与几个初等函数的图象关系，通过“数”的证明和“形”的说明，可以很好地扩充学生的审题视野，丰富学生的解题视角.

3.问题再析

下面，利用上述函数不等式对这几道压轴问题进行分析，首先是“有解”，即运用通性通法顺利解决问题；再去研究是否有别的途径进行“多解”探究，最后才有可能达到“优解”的阶段.

针对填空题，问题1的解答利用图形特征，这里需要说明的是，如果这是解答题，还是要通过零点判定定理去证明，这种方法也被众多高三师生所熟悉和使用，以问题2的通解为例：

问题2通解:由f(x)+g(x)

=-3，即当m≥-3时，原函数不等式成立.

不可否认，这种解法思路分明，思维严谨，但是在追求最优解的解题道路上，能否再思考的深入点呢？问题中同时出现了ex和lnx，由前文几个不等关系可知，这两个函数都可以与多项式函数有联系，为此，不妨采用这个思路去分析，过程如下：

问题3证明(1)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，其中x∈[0,+∞)，有f′(x)=1-a+ln(x+1).

当a≤1时，f′(x)≥0，fmin(x)=f(0)=0，则a≤1满足题意；

综上可知a≤1.

当a>1时，当h′(x)≥0时，x≥a-1；当h′(x)≤0时，0≤x≤a-1；有hmin(x)=h(a-1)=lna-(a-1)<0，因此a>1不合题意.”

(3)若第(1)题是填空题的话，也可从几个角度进行分析：

视角1 当x=0时，a∈R；

视角2 设t=x+1(t≥1)，即tlnt≥a(t-1)恒成立，其中u(t)=tlnt在[1,+∞)为单调递增函数，且过点(1,0)，直线y=a(t-1)始终在函数u(t)=tlnt的图象下方，则a≤u′(1)=1.

视角3 设t=x+1(t≥1)，即tlnt≥a(t-1)恒成立，其中u(t)=tlnt；

当t=1时，a∈R；

4.解题感悟

本文中，通过对一张期中联考试卷中的三个函数压轴题进行仔细分析，结合笔者自身的教学实践，也触发了一些思考和感悟：

感悟1:从联系的视角理解数学

数学解题教学是数学教学工作中的一项艰巨而重要的任务，尤其是面对像高考这种选拔性的考试，高考试题的命制理念之一就是试题源于教材，又要高于课本.高三一轮的复习过程中，特别要关注教材，以教材为蓝本帮助学生数学建好知识联系的框架，帮助学生更好地理解数学.文中研究的这几道以函数与导数为背景的压轴题，对学生理解数学有着极好的引导作用．具体而言，理解数学要“把书读薄”，即要明白知识的核心和本质是什么，不同知识结构之间的联系，对教材内容的结构发展有着深刻的认识，充分明白数学教材中关键知识点之间的相互转化过程．这样的解题教学才是高效的，作为求知者的学生才能从被动的解题中解放出来，知晓知识的来龙去脉，深究核心知识的数学本质，从而做到了然于心，方能运用自如．

感悟2:用创新的思维研究数学

数学问题总是千变万化，解一题并通一类，是数学解题的终极目标．作为教者，首先要更新观念，多学习，多思考、多准备，充分做到备教材、备学生、备教法.具体而言，要想提升解题教学的效果，首先，教师应善于研究学生的思考方式值得仔细研究，它既是学生学习和解决问题的核心要素．本文研究所分析的这类问题，一方面可以沿着学生的思路引导学生展开思考，让学生厘清解题思维的切入点、转折点和关键点，探究通法并解决问题；另一方面，也可以通过评析问题并解释清楚其中的问题内涵，发掘一类问题的本质属性，另辟蹊径，从而可用创新的思维去研究数学问题，实现从“有解”到“优解”的解题境界，促进师生共同提升思维品质．