关注数学思想渗透 凸显核心素养培养*——以2019年高考三角函数试题为例

甘肃省武威第十六中学 (733018) 刘玉文

数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识.数学核心素养是数学课程目标的集中体现，它是在数学学习的过程中逐步形成的，是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的知识、能力和思维品质.数学思想是数学核心素养的核心部分,数学思想贯穿在数学核心素养中.许多三角函数问题，若能灵活运用相应的数学思想，往往能快速、准确地找到解题思路，从而得到便捷的解法.本文以2019年高考三角函数试题为例，说明数学思想在三角函数中的运用以及数学核心素养的凸显，以达到抛砖引玉之功效.

1.数形结合思想

数形结合可以使抽象的、复杂的数量关系，通过几何图形直观地表现出来.在学习三角函数的过程中，应把三角函数的性质融于函数的图形之中，充分利用三角函数的图象来解决问题.

A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|

C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|

评注：数形结合是将抽象的代数问题转化成直观的几何问题求解，使抽象思维和形象思维有机结合.本题通过作出函数f(x)=sin|x|、f(x)=

2.化归与转化思想

化归与转化思想是指研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.一般有以下几种方法：(1)未知化为已知;(2)特殊化为一般;(3)一般化为特殊;(4)等价转化.

例2 (浙江卷)设函数f(x)=sinx,x∈R.

(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数，求θ的值；

评注：本题(1)的解答关键是函数f(x+θ)是偶函数为切入点，然后等式两边分别进行等价转化.本题(2)的解答关键是半角公式的逆用、辅助角公式的巧用、三角函数有界性的活用而得解，本题在对问题的解答过程中，显示出强大的转化与化归功能，有梯度，立意深刻，充分凸显了对逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养的考察.

3.函数与方程思想

高考数学试题既有考查函数与方程思想的基本概念与基本性质的客观型试题，又有从深层次上对函数与方程思想进行综合考查的主观型试题.应用函数与方程思想解题，要学会用变量来思考问题，学会沟通已知与未知之间的关系.

=-4，故函数f(x)的最小值为-4．

评注：本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cosx的二次函数，从而得解.体现了函数思想的运用，凸显了对逻辑推理、数学运算的考察.

(1)求b，c的值；

(2)求sin(B-C)的值．

4.分类讨论思想

分类讨论的原则是分类的标准要统一.分类要做到不重复、不遗漏，能不分类的尽量不分类，绝不无原则地分类.分类的步骤有四步：(1)明确讨论的对象；(2)确定分类标准；(3)逐步进行讨论；(4)归纳小结总结出结论.

评注：本题利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tanα的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.体现了三角化简求值的灵活性和综合性，达到了训练、理解、思维品质的梯度上升，凸显了对数学抽象、逻辑推理和数学运算素养的考察.

5.整体思想

整体思想在三角函数中主要体现在利用整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值，研究函数性质等.

(1)求B；

(2)若ΔABC为锐角三角形，且c=1，求ΔABC面积的取值范围．

总之，三角函数中的数学思想较多，但它们的核心是化归与转化思想，只要大家认真思考，灵活运用，在运用中感悟数学思想，积累思维经验，数学思想一定能给你的学习带来事半功倍的效果，只有这样，才能有效形成和发展数学核心素养.