利用变式教学提高学生数学的探究能力

陈建忠

（甘肃省陇西县第二中学，甘肃 定西 748100）

一、函数的视角探究公垂线定义距离的合理性

问题1.如图，已知点P,Q分别是正方体ABCO-A'B'C'D'的对角线和棱上的点，试探究下列问题：

（一）若P是的中点，求的最小值；

（二）若Q是的中点，求的最小值；

（三）若P是上的动点，Q是上的动点，求的最小值；

解：（一）建立如图所示的空间右手直角坐标系，设

由P是的中点，知设Q(0,1,λ)

解：（二）Q是的中点，则设P(λ,λ,1-λ)，则

解：（三）若P是上的动点，Q是上的动点，可设P(λ,λ,1-λ)，Q(0,1,µ)，则.

上式是两个变量λ,µ的二元函数，不妨视为µ主元，λ为常量，则.

即当且仅当P是的中点，Q是的中点，的最小值.

【点评】P是的中点，Q是的中点，的最小值.有，即PQ是异面直线和的公垂线.课本编者精挑细选的这道题，学生运用坐标法的思想，利用代数中二次函数的最值法，体验了异面直线上两点之间的距离为公垂线段的长度.进一步理解了两个图形的距离是指两个图形上两点之间距离的最小值。

【反思与回顾】

经历上述三问的探究过程，真切感知异面直线上两点之间的距离，公垂线最短.

二、向量的视角探究问题一般化结论

问题2.在长方体ABCO-A'B'C'D'中，设P,Q分别为对角线与棱上的动点，求的最小值.

设Q(0 ,b,y)，P(x0,y0,z0)，

视y为主元，则

特别地，当a=b=c=1时，分别为的中点.

方法2——向量的视角

方法3——斜向量在法向量上投影的视角

由

所以，z=0，由，令所以

【点评】斜向量在法向量上投影的长度，即为异面直线间的距离。向量是沟通代数与几何的桥梁。解题中视为异面直线和的法向量，使问题得到简解.

【回顾与反思】

（一）在正方体中，通过彼此关联的三个问题，使学生领会“异面直线、的距离”是“公垂线段”的长度的合理性；

（二）建立空间直角坐标系，采用坐标法，是几何问题代数化，引入恰当的变量，将问题转化为函数的最值问题，运用二次函数的最值法使问题得以解决；

（三）双变量的二次式的最值问题，通过确定主元法和二次函数的配方法两次放缩，便可得到问题的解；

（四）利用异面直线间距离的定义和斜向量在法向量上的投影，使得对研究问题获得简解。

三、问题的变式拓展，体验数学方法的普适性

问题3.如图，已知点分别是正方体的对角线和棱上的点，试探究下列问题：

（一）若P是的中点，求的最小值；

（二）若Q是的中点，求的最小值；

（三）若P是上的动点，Q是上的动点，求的最小值；

问题4.在长方体ABCO-A'B'C'D'中，设P,Q分别为对角线与棱上的动点，求的最小值.

结束语：经历对原问题和变式、拓展问题的探究，领略了函数的严谨，体验了向量法的普适性。探究过程是艰辛的，活动结果是喜人的，会更加激发探究的热情，不断激发对数学结论冰冷美丽的火热思考，不断地改变学生的学习方法，兴趣盎然的去学习与探究，因此而极大提升了学习数学的自我效能感。