混凝土弯箱梁桥正应力放大系数的讨论

蔡政标

（中国土木工程集团有限公司，北京100038）

1 引言

在非偏心荷载作用下，直线桥只有弯曲而无扭转，而弯桥由于其弯扭耦合效应既有弯曲又有扭转，产生弯曲、约束扭转、畸变3种基本变形。弯曲将使截面产生弯曲正应力σm，约束扭转不仅使截面产生剪应力τω，而且产生翘曲正应力σω，畸变将使截面产生畸变应力。采用常用的6自由度梁单元分析弯桥时，无法计算约束扭转引起的翘曲正应力和畸变应力，而通过正应力放大系数λ来考虑其实际影响。桥梁通过设置横隔板可以把畸变应力控制在可忽略范围内，此时存在式（1）：约束扭转翘曲正应力见式（2）：

式中，B为截面的双力矩，N·m2；ω为主扇性坐标，m2；Iω为截面的主扇性惯性矩，m6。

对一确定截面，双力矩B和主扇性惯性矩Iω为定值，约束扭转翘曲正应力与主扇性坐标ω成正比。

2 双室箱形截面扭转几何参数

针对图1所示的双室箱形截面，梁高H，顶板宽度2B、厚度tu，底板宽度2Bl、厚度tl，翼缘板宽度Bc、端部厚度为tc、根部厚度为td，中腹板厚度tf，边腹板厚度tw，边腹板与底板的夹角为a，C为箱形截面的形心，A为箱形截面的扭心，Al为扭心距底板壁厚中线距离，Au为扭心距顶板壁厚中线距离，yA为截面扭心与形心的距离，文献【1】给出了yA、Al、Au公式。

图1 双室箱形截面

文献【2】对一具体尺寸的箱形截面的主扇性坐标进行了计算，本文根据其算法推导单箱双室截面主扇性惯性矩的公式。

对于对称截面，主扇性坐标反对称，显然④、⑤点主扇性坐标为零，即ω4=0、ω5=0。

闭口薄壁上任意点S的主扇性坐标见式（3）：

式中，ρ为扭转函数为任意点S沿薄壁中线至主扇性坐标零点的积分；t为薄壁厚度，m；h为薄壁中线某点切线至扭心A的距离，m，h带有正负号，顺时针转动为正。

扭转函数ρ见式（4）：

式中，∮dS为顶底板和边腹板中线围成的封闭曲线积分。

对于外悬臂部分，即开口薄壁②-①，有h=Au，故

则全截面上的主扇性坐标分布如图2所示。

图2 主扇性坐标分布

主扇性惯性矩Iω的公式见式（5）：

文献【3】给出了一双室箱形截面算例，其几何尺寸Bc=Bl=H=120mm，B=210mm，tu=tl=tc=td=tw=tf=20mm，根据图2计算3个极值点的主扇性坐标ω1=4 848mm2，ω2=-3 215mm2，ω3=3 563mm2，与文献【3】结果偏差≤1.1%；根据公式（5）计算的截面主扇性惯性矩Iω=1.016×1011mm6，与文献【3】结果一致。

3 考虑约束扭转的空间有限元程序

7自由度梁单元比6自由度梁单元多考虑了约束扭转翘曲位移θ，即考虑“双向弯曲、扭转、轴向、双向剪切、翘曲位移”7个自由度，多考虑了内力双力矩，即考虑“双向弯矩、扭矩、轴力、双向剪力、双力矩”7个内力，此时梁单元的空间平衡方程表示如下：

式中，[K]为14阶单元刚度矩阵。

本文采用MATLAB软件编写了双室箱形截面扭转几何参数计算程序和7自由度梁单元空间有限元程序，以对弯桥进行应力分析。

4 算例分析

如图3所示，三跨箱形截面连续梁25m+40m+25m，曲率半径为R，截面尺寸如图4所示。

图3 三跨连续梁边界约束

图4 双室箱形截面（单位：cm）

计算求得该箱形截面主扇性坐标ω1=1.807 5m2，ω2=-1.473 2m2，ω3=1.539 2m2，主扇性惯性矩Iω=4.202 7m6。对称截面，弯曲正应力σm正对称，翘曲正应力σω反对称。截面σm极值点位于截面翼缘板和顶底板，截面（σm+σω）的极值点位于翼缘板端部（①）及边腹板与顶底板交接处（②、③）。

该弯桥曲率半径R分别取50m、30m时，在自重作用下，全桥各截面σm、（σm+σω）的最大值如图5、图6所示（以受拉为正、受压为负）。

图5 全桥截面正应力（R=50m）

图6 全桥截面正应力（R=30m）

由图5、图6可知，弯桥在自重作用下，随着曲率半径变小，截面（σm+σω）max与（σm）max的比值增大，即其正应力放大系数λ随着曲率半径的减小而增大。

通常，跨中截面拉应力控制截面设计，可以取跨中截面拉应力放大系数作为全桥的正应力放大系数。当R=200m、100m、50m、30m时，求得该桥中跨跨中截面拉应力放大系数λ分别为1.01、1.02、1.05、1.08。当曲率半径R＜50m时，自重作用下的正应力放大系数λ＞1.05。因此，对于小半径弯桥，即使在非偏心荷载作用下其约束扭转翘曲正应力也不可忽略。

5 结语

综上所述，本文推导给出梯形悬臂板双室箱形截面主扇性惯性矩公式，以便直接应用；同时分析了在自重作用下，曲率半径变化对弯桥正应力放大系数的影响。研究结果表明：正应力放大系数随曲率半径减小而增大。