开路电压为受控源控制量的回路电流法的分析与求解

赵春江

(合肥学院 电子信息与电气工程系，安徽 合肥 230601)

回路电流法是以假想的回路电流为未知量分析电路的方法，是求解线性电路的一种常用的方法.在国内的教材和授课过程中，往往会把回路电流法归纳推广为一般的回路电流方程的标准形式，只要记住该方程形式各个系数的含义，学生就可以利用该标准形式求解回路电流，从而得到电路的其他响应.

例如一个具有l个独立回路的电路，它的回路电流法方程的标准形式为：

(1)

式(1)中，ilk为第k个独立回路的回路电流；Rkk为第k个独立回路的自电阻，恒为正；Rjk为第j个独立回路和第k个独立回路之间的互电阻，当这两个回路电流流过互电阻上的参考方向相同时，互电阻为正，反之为负，而两个回路没有互电阻时为零；uSkk为独立回路k中所有支路上电压源电压之和，当回路电流与电压源为非关联参考方向时，电压为正，反之为负，当该回路没有电压源时，为零.

1 问题的提出

回路电流方程的标准形式简单，规律性较强，学生只要多加练习，就可以较容易地掌握并运用.但当应用回路电流方程的标准形式(式(1))求解电路时，还是会遇到一些问题.

例1：电路如图1所示，试用回路电流法求电压u.

分析图1电路会发现，该电路具有一段开路线，并且开路线上的电压就是受控电源的控制量.该电路经过变形可以得到如图2所示的电路.

图1 例1电路图

图2 图1的变形电路图

由图2可以清楚地看出该电路有两个网孔，选择这两个网孔作为独立回路，回路电流的符号和方向如图2所示，所得的回路电流方程为：

(2)

该题还需要一个增补方程，含有受控源的增补方程的列写原则是用未知量表示控制量，控制量u等于2 Ω电阻的电压与2 V电压源的电压之和，即：

u=2×i1+2

(3)

由式(2)和式(3)，得到

u=4 V

(4)

虽然通过变形图2可以求解电路，但也可以直接利用图1求解.由广义KVL可知，基尔霍夫电压定律也适用于假想的闭合回路，而回路电流法正是以回路电流为未知量所列写的基尔霍夫电压定律方程.在图1中，仍然选择网孔作为独立回路，网孔3可以被认为是由开路电压u组成的广义回路，故图1可以被认为共有3个网孔，网孔电流的符号和方向如图1所示，所得的回路电流方程为：

(5)

增补方程为

u=2×(i1-i3)+2

(6)

则最终解得

u=0

(7)

显然，两种方法得到的解是不同的.我们用其他方法，如节点电压法，可以很容易地解得u=4 V，即方法2的结果是错误的.经分析发现，式(5)和式(6)并没有体现图1中u是开路电压的特点，由开路电流为零的性质，增补方程应改写为：

i3=0

(8)

再次求解得到

u=-1 V

(9)

同样，这次解答也是不正确的.但式(5)完全是按照式(1)的这种标准形式所列写出来的，自电阻、互电阻以及回路中电压源的电压都没有错误，并且增补方程也没有错，那为什么得不出正确的结果呢？

2 问题的求解

由上一节可知，在应用广义KVL的情况下，用回路电流方程的标准形式(式(1))是无法正确求解开路电压是受控源控制量的电路的.为此，我们不用式(1)的方程形式，而用最原始的、以回路电流为未知量列写KVL的形式来求解该电路.

如图1所示，网孔1至网孔3的KVL方程为：

(10)

用假想网孔电流i1、i2和i3代替上式的支路电压，得到

(11)

式(11)整理为：

(12)

图1中有3个独立回路，即只能写出3个独立的KVL方程，即式(12)，如式(6)的这种增补方程的写法本质上是KVL方程，其不是独立的，故增补方程不能按式(6)这种形式书写，则增补方程采用式(8)，由式(12)和式(8)联立方程，最终解得

u=4 V

(13)

这与方法1得到的结果是相同的.

图3 例2电路图

比较式(12)和式(5)，会发现式(12)比式(5)多了开路电压u，该电压也是受控源的控制量.由式(1)可知，等号右侧为电压源的电压，而u不是电压源的电压，它仅仅是支路电压(按广义KVL)，特殊的地方就是u是开路电压，并且是受控源的控制量.因此，我们有理由认为：具有这种类型的电路，该电压也应该被当成电压源来使用.让我们再举一例，来验证这个结论.

例2：电路如图3所示，试用回路电流法求电压u.

图3电路共有3个独立回路，选择如图3所示的3个独立回路，其回路电流符号和方向如图3所示.该电路也含有一条开路线，并且该开路电压是受控源的控制量，所以在列写回路电流方程时，要把该开路电压作为电压源代入标准的回路电流方程中，即也作为式(1)中等号右侧uSkk的一部分，则三个回路电流方程为：

(14)

把开路电压u当作电压源，因为它属于广义回路2，所以第二个方程的等号右侧包括了该电压.

增补方程要体现开路的特点，即开路电流为零，所以增补方程为

i1+i2=0

(15)

联立以上方程，解得

u=-0.5 V

(16)

可以证明，该解是正确的.

3 问题的分析

开路电压为受控源的控制量时，在不改变电路网络结构的情况下，只有把开路电压当作电压源，并添加到回路电流方程的标准形式的等号右边，才能得到正确的结果，即回路电流方程的标准形式中uSkk也要包括开路电压.

之所以uSkk也应包括开路电压，我们可以做以下解释：受控源是受到控制量控制的，因此对于受控源来说，控制量也应该被看成是一种电源.当控制量是电压、并且是开路电压时，那么我们就应把它当作电压源，从而参与到回路电流方程的标准形式中.那为什么其他的控制量不能当作电源呢？因为如果控制量是电流，或者控制量虽然是电压、但不是开路电压时，这些控制量都可以用回路电流表示，而回路电流已经在回路电流方程的标准形式中体现了出来，所以无需再把它们当作电源.但如果控制量是开路电压，那么这个开路电压是无法用回路电流表示的，回路电流方程的标准形式中就无法体现该电压，因此必须单独考虑该电压，这时就需把该电压当作电压源看待，从而参与到方程的列写中.

对于这类电路，增补方程的列写也比较特殊.一般情况下，含有受控源电路的增补方程列写的原则是用未知量表示控制量.但由于控制量为开路电压，如果再用回路电流表示开路电压，那么该方程为非独立的KVL方程，因此在这种情况下，增补方程需要考虑的是该开路线的电流为零这一特点.

4 结 论

受控源的控制量是开路电压这样的习题较少出现，而用回路电流法求解该类电路，国内的教材更是极少涉及.本文对这类习题进行了讨论，除了可以把开路线断开成不同的支路后求解电路外，更给出了一般情况下，列写回路电流方程的方法，即把开路电压也看成电压源，作为uSkk的一部分参与到方程的列写中.此时的增补方程应反映开路线的电流为零的性质.

本文所讨论的方法可以作为回路电流法的标准形式的一种补充，从而完善这种通用的求解形式，使其适用于更广泛的情况.在今后的教学中，也应加强对这类问题的分析和讲解，使学生认识到电路分析的严谨性.