带直杆的圆环的周期运动

陈晓彤，梁建莉

(浙江师范大学 数学与计算机科学学院,浙江 金华 321000)

1 带直杆的圆环的运动方程

图1 带直杆的圆环运动

圆环的动能是：

直杆AB的动能是：

系统的Lagrange函数是：

(1)

由此可得系统的哈密顿方程为：

(2)

2 无重力系统的运动

带直杆的圆环系统是一个不可积的哈密顿系统，首先研究无重力时的运动情形，即g=0的情形．这时系统是可积的，对应的哈密顿函数为：

(3)

由能量守恒，系统有一个首次积分

H0(x,px,φ,pφ)=h．

(4)

由式(2)可知px为常数，即系统的动量守恒．对任意给定的H0=h，由式(3)可局部解得：

(5)

将式(5)代入式(2)消去px得：

(6)

记px,±=Λ0,±(φ,pφ)，则

即系统(6)是以Λ0,±(φ,pφ)为哈密顿函数的哈密顿系统，此系统还有一个首次积分：

px,±=Λ0,±(φ,pφ)=h1．

(7)

这些平衡点都是不稳定的平衡点，且构成相平面上的两条连续曲线．

系统(6)的两组平衡点对应h1的4个特殊值：

这样就对应四族点，构成4条连续曲线：

当参数h和h1固定时，对任意x，式(4)和式(7)定义了两个二维流形，把式(4)定义的二维流形记作M0(x)，称为等能量面，M0(x)同胚于一个二维环面T2，把式(7)定义的二维流行记作Mh1．当h和h1给定后，一个具体的运动对应于上述两个二维流形的交线，它通常是一条或两条闭曲线，把他们称为h1-曲线．通过分析，我们得到如下结论：

从全局看，系统(6)的积分曲线正好代表了等能量面M0(x)上的h1-曲线．积分曲线被曲线L14和L23分成三部分.一部分同伦于闭曲线L23内的一点，一部分同伦于闭曲线L14内的一点，一部分介于L14和L23之间.在每种运动过程中，角φ沿相同方向重复变化，所有闭曲线关于φ都是系统(6)的周期解．

系统的作用变量I(h1)可由以下过程求出：

即该系统满足柯尔莫哥洛夫非退化条件．

3 小扰动系统的运动

对我们所关心的系统(2)，哈密顿函数可以写成

Hg(x,px,φ,pφ)=H0(x,px,φ,pφ)+gH1(x,φ)，

(8)

(9)

其中

当能量hg很大时，εH1(x,φ)很小，这样系统就可以看作是无重力运动的周期扰动．若

(10)

对固定的h∈R+和x，式(10)定义了一个等能量面Mε(x)，对充分小的ε>0，它同胚于二维环面T2．由式(10)可局部解得

(11)

其中

由此可得

上节已证明，无重力系统即未扰系统的每个解关于φ都是周期解，始终在不变环面上，解的周期取决于相轨线的位置．对于扰动系统，由于Λ0,±(φ,pφ)满足柯尔莫哥洛夫非退化条件，由KAM理论，扰动系统的轨线仍保持在不变环面上.从相平面上看，相对于无重力系统的平衡曲线，扰动系统也有相应的固定曲线，它们对应于关于φ的周期解．在固定曲线周围的大部分不变曲线仍然存在，与未扰系统的不变曲线相比，仅仅发生了微小形变，但破裂的曲线也构成稠密集．同样，当ε>0充分小时，扰动系统也存在与未扰系统的不变环面相对应的不变环面，其上的流是拟周期流，并且此不变环面充分接近未扰系统的不变环面．扰动系统的不变曲线存在表明，扰动系统仍然具有无重力系统的运动规律．以上研究表明：对扰动系统(9)，当ε>0充分小时，扰动系统的轨线仍保持在不变环面上．