Lévy稳定过程均值变点监测在CUSUM和GEWMA控制图中的比较

2020-05-12胡松瀛李泰

商丘师范学院学报 2020年6期

胡松瀛，李泰

(亳州学院电子与信息工程系，安徽亳州 236800)

在随机系统中有一类问题有很多重要的应用，就是如何快速监测变点．可以应用在工业质量控制上，也可以应用在自动系统的自动故障监测上面，等等.为了快速有效地解决这类问题，不同形式的控制图就被提出来了，例如Shewhart[1]控制图、累积和控制图(简记为CUSUM[2])以及累积和控制图的改进形式——指数加权移动平均控制图(简记为GLR[3])等.在以往研究各种控制图时，常常假定这个过程的方差有限或者假定随机变量是服从正态分布的，但是在实际问题中，许多变量是服从稳定分布的，而且有无限方差，称之为 Lévy稳定过程.例如在金融网络中的资金交易量、股票市场的收益率、核反应堆的温度分布以及年降雨量等.因此监测Lévy稳定过程的均值变点，就成为一个有现实意义的问题.在统计过程控制(SPC)中，广泛地应用平均运行长度(ARL)评估和比较各种控制图的监测效果.本文中，在监测Lévy稳定过程均值变点时，首先给出了CUSUM和GEWMA这两种控制图的平均运行长度ARL的区间估计，其次利用数字模拟的方法对监测效果进行比较.

0 预备知识

为了证明后面的定理，首先给出4个定理(引自[1]).

定理1假设Z1,Z2是相互独立的随机变量，Zj～Sθ(ξj，ηj，μj)，j=1,2，则

(1)

定理2假设Z～Sθ(ξ，η，μ)，p是实数，则

Z+p～Sθ(ξ，η，μ+p)

(2)

定理3假设Z～Sθ(ξ，η，μ)，p是实数且p≠0，则

(3)

定理4假设Z～Sθ(ξ，η，μ)，0<θ<2,则

(4)

其中

假设Z1,Z2，...，Zr是独立稳定随机变量序列，考虑检验问题:

H0：Zj～Sθ(ξ，η，μ0)，j=1,2,…,r；HA：Zj～Sθ(ξ,η,μ0)，j=1,2,…,ν；Zj～Sθ(ξ,η,μ)，j=ν,ν+1,…,r．

(5)

变点ν未知，μ0≠μ，θ∈(0,2]，η∈ [-1，1] ，ξ≥0.

假设检验(5)是对Lévy稳定过程的均值有没有变点进行假设检验.如果没有变点，那么就要接受原来的假设H0,如果有变点，就要接受备选假设HA.在情况HA下，从时刻ν开始，Lévy稳定过程的均值发生μ-μ0的变化.如果μ>μ0，称其为向上的漂移，如果μ<μ0，称其为向下的漂移.双向监测与向下漂移的监测与向上漂移的监测在方法上都一样，因此只讨论向上漂移的监测.

一般，假定检验问题(5)中的μ0=0，θ=1，η=0，并且令ν=1.

1 平均运行长度ARL的估计

CUSUM控制图的定义：

(6)

其中参数σ未知，b>0为控制上限.

GEWMA控制图定义:

(7)

比较控制图在Lévy稳定过程中均值μi变点的结果之前，首先给出一些符号的含义．在没有均值变化时，用P(·)表示概率，E(·)表示期望，这时μi≡0．ARL0表示受控平均运行长度，ARLμ表示失控平均运行长度，

ARL0(T)=E(T) ARLμ(T)=Eμ(T)

其中T是监测程序在控制极限外的一个停时(过程失控预警的时间).给出控制极限b充分大时控制图的平均运行长度ARL的估计.b取充分大是基于如下原因：首先可以得到理论估算的结果；其次由于需要考量实际情况，在监测均值变化情况时，假若出现了错误的预警，在实际生活中可能会造成特别大的损失，但是当受控平均运行长度充分大时，就有很大可能避免或降低失误，当且仅当b充分大时，受控平均运行长度是充分大的．

下面对CUSUM控制图和GEWMA控制图监测Lévy稳定分布均值变点的ARLμ进行估计.不妨假设ν=1，这样可以简化证明过程．

定理5令Zj(j=1,2,…)是Lévy稳定过程第j个观测值,Zj～Sθ(1,0,μj)，Zj(j=1,2,…)相互独立，其中1<θ≤2,μj≥0,那么对于CUSUM控制图

(8)

由于Zj(j=1,2,…)是独立随机变量，由定理4得：

式(8)的向上不等式得证.下面证明式(8)的向下不等式.

由Esary[4]定理5得：

所以可以得到对任意的1≤l≤M，在M处取得最小值，令μ0=sup[μj],对于充分大的b，

定理5得证.

定理6令Zj(j=1,2,…)是Lévy稳定过程第j个观测值,Zj～Sθ(1,0,μj)，Zj(j=1,2,…)相互独立，设μ0=inf[μj],μ0=sup[μj]，其中1<θ≤2，μj≥0，那么对于GEWMA控制图

(9)

其中

证明：由于

所以当0≤θ<1时，有G′(θ)≤0，因此当l≤M时，有

那么

因而

定理6得证.

2 数值模拟

平均运行长度是检验控制图的标准，在受控这种状态下，ARL0相等的条件的时候，对于给定的均值漂移μ，比较失控状态下的ARLμ,ARLμ越小说明这种控制图效果越好.下面给出CUSUM和GEWMA控制图监测向上漂移时ARLμ模拟结果.假设时间序列服从对称稳定分布Sθj(1,0,μ)，其中θj∈(1,2].我们采用Chambers,Mallows and Stuck5提出的rstalbe程序生成的随机变量序列Zj～Sθj(1,0,μ)，ν=1，模拟结果是由100000次重复实验得出.

表1Zj～S1.5(1,0,μ)下ARLμ比较

CUSUMGEWMAμσ=0.5σ=1σ=1.500.1250.250.511.5234500167.968.925.910.36.584.843.222.44500208.998.030.49.175.163.622.362.03500245.9128.942.09.904.913.282.202.01499495.8493.9481.7330.1184.9112.952.129.2b3.635.164.61721.44

表2Zj～S1.8(1,0,μ)下ARLμ比较

CUSUMGEWMAμσ=0.5σ=1σ=1.500.1250.250.511.5234500260.9144.960.024.4915.2811.207.265.45500347.9219.980.1924.3913.499.335.8214.29500402.8297.8131.929.9914.099.045.333.82499477.8428.01233.0271.9832.4718.528.204.81b9.0612.8115.528.835