HPM视角下的类比推理教学

纪妍琳

【摘 要】类比推理是培养学生逻辑推理素养过程中不可忽视的内容。然而，类比推理教学的成功案例并不多见，恰当的类比推理教学模式也有待建立。研究者对有关类比推理的数学史料进行梳理，并以PM视角下的“立体几何中的类比推理”高三复习课的若干教学片段进行再现与分析，促进学生对数学活动本质的认识，提高学生学习数学的自信心。

【关键词】HPM;类比推理;立体几何

一、引言

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）提出，逻辑推理素养主要表现为掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表达论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流[1]。逻辑推理包括从特殊到一般的归纳、类比和从一般到特殊的演绎推理。得到数学命题主要依赖于归纳和类比，证明数学命题主要依赖于演绎[2]。《课标》第一次明确了归纳推理、类比推理与演绎推理一样，都是有逻辑的思维形式[3]。因此，类比推理是培养学生逻辑推理素养过程中不可忽视的内容。然而，类比推理教学的成功案例并不多见，恰当的类比推理教学模式也有待建立[4]。尽管PM专业学习共同体已陆续开发了一系列课例，但这些课例大多属于新授课，在复习课尤其是高三复习课并不多见。众所周知，高三复习课注重知识综合和解题思想方法，注重培养学生分析问题和解决问题的能力。针对高三复习课的特点，要开发较为理想的高三数学课例，将历史上数学家的思想方法融入教学，可能是一条可行的途径。

为此，笔者对有关类比推理的数学史料进行梳理，从中提炼类比推理的特点，选取合适的素材，在高三复习课中实施类比推理的教学。

二、类比推理的数学史料研究及其应用

（一）类比推理的数学史料研究

1.基于类比推理的数学发现

在数学历史上，类比推理是数学家获得数学发现的重要途径。古希腊数学家阿基米德（Archimedes）在《论方法》中写道：“……由圆面积等于以它的周长为底，以它的半径为高的三角形面积这一事实进行推断，我认识到同样应有，球体积等于以球的表面积为底、半径为高的圆锥的体积。”阿基米德通过类比推理，由圆面积与其周长的关系，类比得到球体积与其表面积的关系。因为球的体积公式为

（二）类比推理数学史料的应用

类比推理的相关史料揭示了类比推理创造性、或然性和结论的多样性的特点。阿基米德、牛顿、欧拉等通过类比做出重要发现，体现了类比推理的创造性;阿耶波多、婆罗摩笈多、斐波那契等运用类比推理得出错误结果，体现了类比所得到结论的或然性;波利亚类比勾股定理和海伦公式，得出多个不同命题，说明类比推理的方向具有多样性，类比推理的结果并不是唯一的。

历史上数学家进行类比推理时，常涉及圆与球、椭圆与圆、三角形与四面体、有限与无限等数学对象，说明这些对象具有较多的相似性，具备进行类比推理的条件。

以史为鉴，教师可以针对类比推理的特点，选择合适的数学对象进行类比推理教学。

三、教学设计与实施.

根据类比推理的特点，上海市某高三数学教师A尝试以“立体几何中的类比推理”为主题，设计PM视角下的高三立体几何复习课。教师A将阿基米德类比推理得到球表面积公式、阿耶波多运用类比推理得到错误的四面体体积公式等数学史料融入球体积公式和四面体体积公式的复习中，揭示类比推理的创造性与或然性，并引导学生尝试将勾股定理类比到立体几何中，在探究中揭示类比推理方向的多样性。下文将对HPM视角下的“立体几何中的类比推理”高三复习课的若干教学片段进行再现与分析。

（一）从圆面积到球体积.

圆与球是一对具有相似性的数学对象，适合作为类比推理教学的研究内容。教师A考虑到沪教版教科书中球表面积公式和球体积公式的编排顺序与历史顺序不同，且教科书不加证明地直接给出球的表面积和体积公式，导致学生只知其然，而不知其所以然。于是教师A将阿基米德类比得到球表面积公式这一史料，重构式地融入球体积公式的复习中，让学生在探究球的体积公式的过程中初步认识类比推理。

师：我们之前已經学习了球体积公式。但是，教科书直接给出了公式，并没有告诉我们它是怎么得到的，许多同学对此感到很困惑。所以，我们今天要来尝试推导球的体积公式，加深对这个公式的理解。圆和球是非常相似的几何图形，同学们不妨回顾一下圆的面积公式的推导方法，看看能否找到推导球体积公式的思路。

生：过圆心进行均匀分割，当切割的份数足够多时，我们可以将切割得到的小扇形近似看成三角形，将小三角形拼合成四边形，就可以得到圆的面积公式

师：对的，在初中时，我们就是通过切割法推导圆的面积公式的（如图2）。在推导过程中，我们得到也就是说，圆的面积等于以其周长为底边、以其半径为高的三角形的面积。那么，能否类比圆的面积公式的推导方法推导球的体积公式呢？

生：球可以由圆绕着直径旋转得到，我们可以对圆的面积与球的体积、圆的周长和球的表面积、三角形面积和圆锥体积进行类比。可通过类比得到球的体积等于底面面积为球的表面积、高为球半径的圆锥的体积，即

师：非常好，同学们用类比推理得到的结论和古希腊数学家阿基米德所得出的结论完全一样。另外，德国数学家开普勒也是由球的表面积公式推导出球的体积公式的，他所用的方法也是切割法。同学们思考一下，如何以切割球体来推导球的体积公式呢？

生：推导圆面积公式时，过圆心将圆切割成了无数个小扇形，那么切割球的时候，过球心进行切割，也可以切割成无数个小的部分。

师：非常好，过球心切割球体（如图3），我们可以给切割得到的这些小的部分起名为“球面小锥体”，那么我们需要通过“球面小锥体”的体积来求球的体积。“球面小锥体”的体积怎么表示呢？

师：类似的问题，我们在切割圆得到小扇形的时候，是怎么处理的呢？

生：将圆切割成无数个小扇形，那么扇形的弧就近似于直线段。那么，将球切割成无数多个小的“球面小锥体”，曲面就近似于平面上的四边形，“球面小锥体”的体积就近似于四棱锥的体积。

师：非常好，我们将球体积看成是无穷个小棱锥的体积之和，这些棱锥的顶点在球心，底在球面上，这正是开普勒所用的方法。那么，要求小锥体体积，它的高是多少？

生：高是球心到球面的距离，是球的半径。

师：那底面面积怎么求？

生：我们要求的是所有“球面小锥体”的体积之和，它们高相等，底面积之和为球的表面积，所以体积之和为

师：非常好，同学们的思路就是当年开普勒的思路。但是，由于我们没有学习过微积分，有些表述还不够严谨，今后同学们可以再进行完善。开普勒正是用这样的方法，由球的表面积公式推导出球的体积公式。但是，在历史上，球的体积公式的发现是早于球的表面积公式的，有许多数学家用不同的方法推导球的体积公式，我们一起通过微视频回顾一下历史上有哪些精彩的方法吧。（播放微视频）.

在球的体积公式的复习中，教师A基于学生初中所学的有关圆面积公式推导的知识，重构式地融入史料，基本上实现了知识的历史序、逻辑序和学生心理序的统一。微视频拓宽了学生的学习视野。在这个过程中，学生通过类比推理得到关于球体积公式的猜想，既加深了对球体积公式的理解，又获得了对类比推理创造性的认识。

（二）从勾股定理到“立体几何中的勾股定理”

由波利亚对勾股定理和海伦公式的多种类比可见，当从不同的角度认识类比对象时，从同一事物出发往往可以做出不同的类比。教师A将《数学的发现》中的内容作为类比推理教学的素材，选择其中的“类比勾股定理，给出空间中相似的一个定理” 作为“立体几何中的类比推理”一课中的探究性问题，让学生通过具体的例子尝试进行类比推理，同时揭示类比推理方向的多样性。

师：在Rt△ABC中，两直角边分别为a和b，斜边为c，则有a2+b2=c2，这就是同学们耳熟能详的勾股定理。同学们能否将此公式类比到空间中，得到“立体几何中的勾股定理”呢？

生（陷入思考）：…….

师：要将勾股定理类比推理到空间中有些难度，那么我们不妨先将直角三角形的概念类比到空间中。

生：三角形可以类比为四面体。

师：那直角三角形呢？我们把由一个顶点出发的两条边互相垂直的三角形称为直角三角形。能不能有类似的“直四面体”的定义？

生：过同一顶点的三个面两两互相垂直的四面体称为直四面体。

师：非常好。那么，可否将勾股定理类比到直四面体中呢？同学们思考一下。

（学生交流讨论，尝试进行类比推理。）.

生：如图4，在直四面体O-ABC中，

师：你是怎么想到的？

生：将直角三角形的边长类比为四面体各个面的面积。

师：很好，那为什么将边长的平方类比为面积的平方而不是面积的立方呢？

[JP3]生：这个没有仔细想，我只考虑了元素的类比。

师：非常好，那到底是平方还是立方呢？

生：可以带入特殊值检验一下。

师：这是一个非常好的方法，同学们尝试带入特殊值检验一下，哪个更为可靠一些？

生：平方更可靠。

师：好的，我们通过检验得到了一个更为可靠的猜想，但这并不意味着这个命题就是正确的，要说明其正确性，还需要通过严谨的证明。

（师生共同探究命题的证明。）.

师：同学们将勾股定理类比到直四面体，得到“四面体中的勾股定理”，我们也一起严格证明了这个命题。那么，由勾股定理，同学们还能类比出其他不同的命题吗？

生（陷入思考）：…….

师：数学家波利亚在其著作《数学的发现》中对勾股定理进行类比，和同学们一样类比得到“四面体中的勾股定理”，此外，他还将勾股定理类比到长方体中，得到另外两个不同的命题。

生：类比到长方体中？

师：對，当我们将勾股定理视为长方形对角线的性质时，我们可将其类比到长方体中。

生：类比推理的方向是不唯一的。

师：同学们总结得非常好，类比推理的方向有多样性。波利亚对海伦公式也做出了多个不同的类比。同学们课后可以进行深入探究。

在类比推理教学中，强调类比推理结论的唯一性是类比推理教学中比较常见的现象。然而，从同一事物出发能得到许多不同的数学命题，这恰恰是类比推理作为数学发现的重要方式的巧妙之处。因此，在类比推理教学中应该揭示其方向的多样性。

当学生将勾股定理类比到直四面体O-ABC中时，教师A除对学生的类比结果表示肯定外，还可提出波利亚在《数学的发现》中将勾股定理类比到长方体中的做法，启发学生可以从更多的方向进行类比推理。特别地，教师向学生说明波利亚对海伦公式的多角度类比，强调类比推理的结论是多样化的，培养了学生的创新意识。

（三）从三角形面积到四面体体积

类比推理所得的结论具有或然性，历史上数学家通过类比得出错误结论的例子也不少。《课标》中也明确指出，学生应该知道通过类比推理得到的结论是或然成立的。教师A利用古代印度数学家阿耶波多类比错误得到的三棱锥体积公式对照学生所犯的类似错误，说明了类比推理的或然性，帮助学生正确、全面地认识类比推理。

师：同学们，屏幕上的三棱锥体积公式正确吗？

师：可是我在大家的考试答卷上发现了很多“V=的错误答案。这些同学犯了和古代印度数学家阿耶波多一样的错误，把三角形的面积公式类比到四面体中，得到错误的体积公式。

生：数学家也会犯错误吗？

师：对的，因为类比所得的结论具有或然性，需要通过验证和证明才能说明结论的正确与否。

生：既然类比的结论不一定是正确的，那么为什么还要进行类比呢？

师：数学家波利亚说过，如果没有类比推理，那么无论是初等数学还是高等数学，甚至在其他任何領域，本来可以发现的东西，也可能无从发现。所以错误不可怕，重要的是我们要学会发现，只有不断尝试，不断失败才会更接近真理。

教师A结合学生常出现的错误介绍阿耶波多的类比错误，这让学生认识到，即使是数学家在运用类比推理发现新命题时，也难免会发生错误，说明数学的发展不是直线式的、静态的，而是伴随着尝试与错误的。类比错误的数学史可以帮助学生树立数学学习的自信心，形成动态的数学观，体现了数学史融入教学的“德育之效”。

在数学教学中，教师将数学家通过类比推理得到错误命题的历史融入课堂，同时辨析以往学习中进行类比推理得到的错误命题，学生可以认识到类比推理的结果具有或然性，能辩证地看待类比推理在数学学习中的作用。另外，通过类比推理所得到结论的正确性，不应该成为评价学生类比推理能力的唯一量尺。学生在类比推理过程中，基于不同的考虑会得到不同的命题。比如，将勾股定理类比到空间时，若学生考虑到二维平面与三维空间的差异性，类比得到的结论是

四、结语

历史上数学家高度肯定了类比推理的价值，利用类比推理获得了无数的新发现。与类比推理相关的数学史为教师类比推理教学带来了启示。有关类比推理的历史素材为教师设计探究活动提供了参照，从而营造“探究之乐”。基于类比推理的创造性探究活动，培养了学生逻辑推理的素养，从而实现“能力之助”。借鉴历史，自然地揭示类比推理的或然性和方向的多样性，可以促进学生对数学活动本质的认识，让他们“穿越时空与古代数学家对话”，增加学生学习数学的自信心，达到“德育之效”的目的。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准（2017年版）[S]北京：人民教育出版社，2018.

[2]史宁中，王尚志普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]北京：高等教育出版社，2018.

[3]史宁中试论数学推理过程的逻辑性：兼论什么是有逻辑的推理[J]数学教育学报，2016（4）：1-16.

[4]林玉慈高中数学课程中的逻辑推理及教学策略研究[D]长春：东北师范大学，2019.

[5]阿基米德阿基米德全集[M]朱恩宽，常心怡，译修订版西安：陕西科学技术出版社，2010.

[6]汪晓勤欧拉与自然数平方倒数和[J]曲阜师范大学学报（自然科学版），2002（4）：29-33.

[7][JP3]汪晓勤从九点圆到十二点球[J]中学教研（数学），2002（9）：40-42.

[8]波利亚怎样解题：数学思维的新方法[M]涂泓，冯承天，译上海：上海科技教育出版社，2011.

[9]波利亚数学与猜想：数学中的归纳和类比[M]李心灿，王日爽，李志尧，译北京：科学出版社，2016.

[10]柳笛，汪晓勤艺术家弗朗西斯卡的数学成就[J]中学教研（数学），2006（9）：4-47.

[11]李文林数学珍宝：历史文献精选[M]北京：科学出版社，1998.

[12]汪晓勤PM：数学史与数学教育[M]北京：科学出版社，2017.

（责任编辑：陆顺演）